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A. Haar.

Es scheint mir, daß diese Lösung des Laplaceschen Problems derFunktionen großer Zahlen an Übersichtlichkeit und Einfachheit nichts zuwünschen übrig läßt; es sei noch bemerkt, daß in dem Falle, daß dieoben mit G(t) bezeichnete Funktion an der Stelle / = 0 nicht regulär,sondern von der Form

0(t)= t s g(t)

ist, wobei g(t) eine für ¿=0 reguläre analytische Funktion bedeutet,nach demselben Verfahren ähnliche asymptotische Formeln erhältlich sind.13. Wie in der Theorie der Fourierschen Reihen die Integrale

2n 2JI

f F(t)cosxtdt bzw. J F(t)sinxtdt,o o

so spielen in der Theorie der Besseischen Reihen die Integrale

i

(15) f F(t)J(xt)dt

o

eine wichtige Rolle und es ist daher des Interesses wert, ihr asymptoti-sches Verhalten zu studieren. Mit Hilfe der Formel von Lipschitz (S. 91)erhält man als Laplacesche Transformierte des obigen Ausdruckes dieFunktion :

J ïz 2 + t*

0

die im Unendlichen wiederum regulär analytisch und gleich Null ist, sodaß die im Endlichen gelegenen singulären Stellen dieser Funktion denasymptotischen Charakter des Ausdruckes (15) bestimmen. Wir be-schränken uns auf den Fall, daß F(t) ein Polynom ist, d. h. wir wollenuns mit dem asymptotischen Verhalten der Ausdrücke

/mO) = I t m J(xt)dt

O

beschäftigen, was — nach der vorangehenden Bemerkung — mit demStudium der Singularitäten der Funktionen

i

C t m

<p m 0)= 7r^=, dtO ^ + r

äquivalent ist. Nun kann man diese Integrale ohne Schwierigkeiten aus-werten; es ergeben sich verschiedenartige Resultate, je nachdem m einegerade oder ungërade Zahl ist. Für ein ungerades m

m — 2 k -\- 1