Asymptotische Entwicklungen. 105

ergibt sich

f~\ _ f„( 2k + ^K 2k „<2*+l> „ 2k ~ 2fzk+iyZ)— (a 0 z -\-a.i z

j_ <2*+l) 3*-4 I I _<B* + a)\ i-a I 1 <2*+l) 2jfc+l

— «4 2 0 2 i J I 2 — 1 — «o 2 ,

wobei zur Abkürzung:

„<2fc+D_ 1 (2&+ 1) / ^7) 2 k (2 k-2) (21c-4).. (21c-2p+ 2)

a2k 2k+l' a2k ~ 2 P l 1 > (2fc+l)(2Jfc-l)(2Jfc-3). ..(2k-2p+l)

(p= 1,2

gesetzt ist. Ist aber m eine gerade Zahl

m = 2k,

so erhält man

cp 2k (z) = (ar 2 2i - 2 + o?» 2 2 *- 4 + ar z 2k ~ 6 + • • • + C) f^+l

- oí"' fc) 2" (log ( 1 + ÏJ+l) - log 2),

wobei zur Abkürzung

„(2 k) _ 1 . „(2« -, (2 k— 1)(2 ä —3)(2 h — 5)... (2 lc-2p + 1)

2i 2fc' ^ -2 * ^ ' 2fc(2& — 2)(2& — 4)...(2fc — 2^>)

(p=î,2,...,fc — 1)

gesetzt ist 27 ).

Mit Hilfe dieser Formeln können wir die asymptotische Entwicklungder Ausdrücke f m (x) auf Grund der im § 2 entwickelten Sätze sofort an-geben. Man kann zunächst an der Hand dieser Formeln nochmals veri-fizieren, daß <p m {z) im Unendlichen regulär analytisch ist, und man sieht,daß für ein ungerades m die Stellen 2 = ± i —, für ein gerades m, aber2 = ± i und 2 = 0 die singulären Stellen dieser Funktion sind. Istm = 2 k -j- 1, so entwickle man <p 2 4+1(2) in der Umgebung der Stellen2 = ± i ; man erhält Potenzreihen von der Form :

9 >2fc +i (2) = I z — i ß , <2A '~ 1) (2 — i) v = lz + i yj üf k+i) (2 -j- i) v >

v=0 v—0

deren Koeffizienten a,7 k ' 11 bzw. <xf k+1) sich als einfache Ausdrücke derdn k+1 \ at k+1) ,...,a ( A k+1) ergeben. Danach ist cp2k +i {z) in die Summe

n n

<P2k+ 1 (2)= \ 2 — i yj a¿ 2 * +1) (z — i) V + I 2 + i ]>j äf k + i) (z + iy

v=0 v= 0

37 ) Diese Formeln ergeben sich aus den beiden leicht verifizierbaren Relationen:

Jf2le + 1

dt = (a< 2 * +1 > + a¡, 2k+1) í 2 +... + a¡\ k+1) t 2k ) ï t 2 + 1 -

f :t== dt = t (a^ + o< 8 » í 2 + ... + ai 2 « t 2k ~ 2 ) - a< 2 *> log (t + íP+1) .Jlr+i