106 A. Haar.

zerlegbar, in der y>(z) eine solche Funktion bezeichnet, deren (w + l)-terDifferentialquotient an den Stellen z — + i stetig bleibt (an jeder anderenStelle ist diese Funktion regulär analytisch). Wir erhalten folglich aufGrund der im § 2 gewonnenen Sätze für f-> k+1 (x ) die folgende An-näherung:

y 7 ec? k+1) e ix +aj, 2k+1) e~ ix 1

¿-J 17 1 \ í+f

v=0 r {--r — v) X -

und eine Überlegung, die wörtlich wie im Falle der Besseischen Funktion(S. 93) geführt werden kann, zeigt, daß der Fehler von der Ordnung

—~rö~ ist.

X

Ist aber m eine gerade Zahl: m = 2Jc, so hat cp ik {z) außer z = + inoch z = 0 als singuläre Stelle. Der Beitrag, den diese letzte Singularitätin der asymptotischen Entwicklung von f-> k (») liefert, ist nach dem SatzS. 18

Í2 k) (2 k) !

«» x 2k+l•

Um die volle asymptotische Entwicklung zu gewinnen, entwickle man inder Umgebung der Stellen z = + i den daselbst singulären Bestandteilvon (p-2jc(z). Da

pv

V

log ( i + fz 3 + i) = y ( - 1)"- 1

ist, so hat man zu diesem Ende nur die Funktion

}'z 2 T 1

2k) _2k-2 , „(2i)_2J-4 , , (2k) „(2 k)\ f, , 1 + , (1+Z 2 ) ,

(a 2 z -r z + a 2k — a 3 ) ^1 ^ 1 g 1- .

nach Potenzen von z — i bzw. z -j- i zu entwickeln; sind die so erhaltenenReihen

CO CO

Vz — i a¡, ai) (z — i) r bzw. Vz -j- i yj cc, f2k) (z + »)*,

v=Q v=0

so lautet die asymptotische Näherung für f 2k (x) wie folgt:

— a 2

/ oj \, (31) «i , 5 (2l) -iî ,

(2 i) (2 k)\ . V 7

Zj il \ r+î

v—o r[—y~ H x

und der Fehler ist wiederum von der Ordnung —-—5.

x n

Ich habe mich, bei dieser ersten Anwendung des dargelegten Ver-fahrens, auf die in den letzten beiden Abschnitten behandelten Beispiele