H. Brinkmeier. Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen. 109

Anderseits läßt sich auch eine Ordnung der Koeffizientenfolge de-finieren :

(2) y = lim Ig 1 1 ;

' ^ -n-lgn

es ist daher

(2a)

für n> n 2 (e 2 ),

^ I c n I ^ ~T+Z für n = n lt ng, ... — ca.

= n y+c,

H. Poincaré und J. Hadamard haben nun gezeigt 2 ), daß

(3) Z 1 — y

ist. Da y nur von den Beträgen der c n abhängt, zeigt dieses Resultatimplizite — was direkt wohl nicht leicht zu erkennen wäre —, daß auch/J, nur von den Beträgen der c n abhängt.

E. Lindelöf hat das Wachstum einer Funktion noch schärfer umgrenzt,als es durch die Ungleichungen (la) geschieht, nämlich durch die Un-gleichungen :

, , M(r) ^ e (1+£ > IMW für ?" r 3 (e 3 ),

M(r) ^ e (1 ~ £;>)M(r) für r = r 15 r 2 , ... — oo ,

wo

M(r) = ... (lg 8 r)^, 3 )

und entsprechend die Abnahme der Koeffizienten durch die Ungleichungen

1 ~f- ^4

für n^it 4 (a 4 ),

(5) r(W)

n / 1 — 8

' i ® n I & TTwf iür n =

WO

r (n) = c-n r ■ (Ign)^- (lg a n) r * ... (lg K n) y *.

Lindelöf hat alsdann bewiesen, daß

1

I C\ 1 ("l

( 6 ) y = — y = 1 . y — , C=

fi fl i u ' '* /{' \ m- 1

ist. Auch hier erweist sich also, daß die genaueren Exponenten ¡u 2 , fi„und ebenso m nur von den Beträgen der c n abhängen.

2 ) Eine ausführliehe Darstellung dieser Theorie gibt u. a. die Arbeit vonE. Lindelöf: Mémoire sur les fonctions entières de genre fini, Acta soc. scient.Fennicae 31 (1902), S. 1, wo auch die Originalarbeiten Poincarés und Hadamardsangegeben sind. Vgl. auch Enz. d. math. Wiss. II 3,1 Nr. 4 (Bieberbach), S. 425—445.

3 ) lg^r bedeutet den x-fach genommenen Logarithmus von r.