110 H. Brinkmeier.

Diese Tatsachen legen die Frage nahe, inwieweit man überhaupt M(r)unter Festhaltung der Beträge der c n durch Veränderung allein ihrer Arcusbeeinflussen kann. Unter allen Funktionen, die sich nur in den Arcus derc n unterscheiden, hat

fOO = lkl* n

n= o

das größte Wachstum :

(7) if(r)^3H(r) = í\c n \r n .

n=0

In der vorliegenden Arbeit wird nun im § 1 gezeigt, daß stets

(8) ' für r>x 5 (e 5 )gilt. Da

t* i 1 ,

_ — lg r

2 2

r = e

ist, so sieht man, daß dieser ganze Einfluß, der sich als additiver Loga-rithmus in den Exponenten stellt, winzig ist selbst neben den multi-plikativen Logarithmen des Lindelöfschen Satzes.

Vor allem aber wird in dieser Arbeit im § 2 dargetan, daß diesesErgebnis keiner irgendwelchen weiteren Verschärfung fähig ist. E. Landauhat in einer Arbeit (Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Carlemann,Math. Zeitschr. 5, S. 147) sich die Aufgabe gestellt, ein Polynom (k — 1 )-ten

Grades zu finden, bei dem der Grenze Vk, die es nie übersteigen

kann, möglichst nahe kommt. Er beweist mit elementaren Mitteln undsehr kurz die Ungleichung

(9) 2Jx( n ) z " ^tVklgk für |z|^l,

11=1

wo %{n) irgendein eigentlicher Nicht-Hauptcharakter mod k ist, und hatdamit ein Polynom konstruiert, bei dem 9JÍ(1) = &, M(l) 4 V k lg k

ist, also ^ . Mit Hilfe dieser selben Ungleichung läßt sich für

unseren ganz anderen Zweck eine ganze Funktion F{z) der Wachstums-ordnung /X herstellen, bei der

( 10 ) ÏF( r) > G ' r ° für r = r li r„ — oo

ist, wo C beliebig groß vorgegeben sein darf.

Wenn man die genaueren Exponenten heranzieht, durch die Lindelöf