Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen.

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das Wachstum charakterisiert, so erhält man mit den gleichen Hilfsmittelnfolgende Verschärfung der aufgeführten Ergebnisse. Es ist stets

+ für

und es lassen sich mit Hilfe der Landauschen Ungleichung (9) Funktionenkonstruieren, für die

( 10a ) für r = r 1 , r 2 ,...—> oo

ist.

Dieses letztere Ergebnis läßt sich noch weiter verschärfen.

Mit sehr schwierigen Betrachtungen hatten Hardy und Littlewoodfür die erwähnte Landausche Aufgabe eine noch schärfere Lösung gefunden,indem sie die Ungleichung, die Landau in derselben Arbeit erwähnt, bewiesen:

(H)

V 7 gk

k-1

< A Y n für I z < 1.

wo i = V 2 oder irgendeine sonstige feste reelle Irrationalzahl mit be-schränkten Kettenbruchnennern ist. A ist eine nur von f abhängige, vonn und z freie Konstante. Verwendet man diese Ungleichung statt derLandauschen, so erhält man

( 10b ) [e• A* - M(»]- für r == r 15 r 2 , ... — oo.

Die Konstante A=A(£) ist jedenfalls über V2 gelegen; ihr genauererMindestwert ergibt sich aus dem Hardyschen Zusammenhang.

Um die Resultate absolut in dieser schärferen Form zu erhalten, istder Arbeit durchweg die Hardy-Littlewoodsche Ungleichung zugrunde gelegt.Die Verwendung der Landauschen würde gewisse Abänderungen notwendigmachen.

Da die mit (8 a) und (10 b) gegebenen Verschärfungen in den hiervorzunehmenden Entwicklungen keinerlei neue Gedanken erfordern, werdendie Beweise nur für (8) und (10) gegeben, wo sie weit durchsichtigersind. Die wenigen für die Verschärfung notwendigen Modifikationen werdenam Schlüsse genau angegeben werden.

§1-

Satz. Wenn für eine ganze transzendente Funktion(la) M(r) <¡ e Tfi+3i für r'^ ; v 1 (e 1 )

ist, so ist

(8) für r^r 5 (fi 5 ).