Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen. H3

Damit (15) gilt, genügt es also jedenfalls, v so zu wählen, daß

<#<1 und vi>n„(£„

l = " ^ x =r ,l 2 \ 2 /

(v + i)^" f2

ist. Dazu muß

i

(» + 1)"

d.h.

( 17 ) v + 1 (^j und v ^ it 2 (e 2 )

sein. Wählt man v gleich der kleinsten ganzen Zahl, die (17) genügt,so wird daher

(18) n 2 (e 2 ) < v +1 (^) +1,

und daher wegen (14)

aR (0< I/ ÍtJ -M{r) + K,

wo r gemäß (18) einen von e 2 abhängenden Anfangswert r., (£ a ) über-schritten haben muß. Dies gilt bei beliebig vorgegebenem e 2 . Es ist klar,daß man dieses so wählen kann, daß

[X

(8) 90? (r) ^ M(r) • r 2 für r^>r 5 (e 5 )

wird.

§2.

Von der folgenden Funktion mit der Wachstumsordnung ¡i,

„ D'b v

gk^Si

Z °y1

(19) F(z) = Z 2 i *

" =0 i=1

wird die Behauptung aufgestellt:

iL

( 10 ) < W^) = °' r " für r 2 , ...—oo,

wo C beliebig groß vorgegeben sein darf. In (19) bedeutet /u irgendeinepositive, D eine ganze positive Zahl. £ ist die Irrationalzahl der Un-gleichung (11). Die b v bilden eine monotone Folge von ganzen positiven

Mathematische Annalen. 96. 8