Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen.

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Aus (23), (24), (25), (28) folgt

, b s

(29) M(r ö )<—^ (Aim's + E + -fyV s ).

(h'Y

Nach (22) folgt

r "s S

3K( r t ) (&,!)"

M (r a )- Js

0 (A]Db s + E + Í/b s )

1

(b 6 <r

>w s ~— r

Al7>+ W.

>Íb s -

D

A ID (1 + «, (t> ô ))

wo lim e 7 (bs)=0. Es ist klar, daß man die ganze Zahl D so wählen

6 ä -v=o

kann, daß der letzte Bruch größer als eine vorbestimmte Konstante Cwird. Setzt man dann noch b$ = r£, so wird aus der letzten Ungleichung

mrï) _ f

m r ¿? >c ' r& -

Die Behauptung (10) ist damit für die ganze Folge (21) bewiesen unddamit zugleich gezeigt worden, daß (8) sich nicht weiter verschärfen läßt.

Schlußbemerkung.

Will man in der gleichen Weise die schärferen Ungleichungen (9 a)und (10b) beweisen, so muß man im § 1 für die Ungleichung (16) stattdes durch die Gleichung (3) dargestellten Satzes, den durch die Glei-chungen (6) dargestellten verschärften Satz Lindelöfs benutzen. Im § 2hat man statt der Funktion (19) die Funktion

m (i(M

" .k*xsi.b v +k

r(*)=22 l ,

(vr-K"

wo lim e (b¿) = 0.

6,5->cc

Wenn man also, wie es Bedingung (27) fordert, b l größer als eine bestimmte Zahl Hnimmt, und somit jedes b r größer als II hat, wird e(6 ¿ )<l, log tu also negativ,w selbst ein echter Bruch. Die angemerkte Behauptung ist also richtig. Eine ein-fache Rechnung zeigt, daß man nicht nötig hat, II größer als 9 zu nehmen.