Beiträge zur Theorie (1er fastperiodiselien Funktionen.I. Teil. Funktionen einer Variablen.

Von

S. Bochner in Berlin.

Einleitung.

In der vorliegenden Arbeit 1 ) beschäftigen wir uns mit einigen Fragenaus der Theorie der fastperiodischen Funktionen von H. Bohr, welche vondiesem Verfasser nach Vorausschickung vondrei C.-R.-Noten, Bohr [1,2, 3] ;in drei Abhandlungen, Bohr [4, 5, 6], und einer kleinen Note, Bohr [7],entwickelt worden ist 5 ), und im vorliegenden ersten Teil werden wir esnur mit den fp. Funktionen (wir gebrauchen die Abkürzung „fp." für dasWort „fastperiodisch") einer reellen Variablen aus Abh. I und II zu tunhaben.

Für das Folger.de brauchen wir nur die Einzelheiten aus Abh. I,Kap. I und einiges aus Abh. II vorauszusetzen, und werden das Wichtigstehiervon, mit verschiedenen Bemerkungen versehen, im § 1 resümieren;überdies werden wir den Fundamentalsatz heranziehen.

Den Beweis des Approximationssatzes, d. h. des Satzes, daß man jedefp. Funktion durch endliche trigonometrische Summen gleichmäßig approxi-mieren kann, führen wir mit Hilfe einer Summation der Fourierreihe,welche darin besteht, daß — in Verallgemeinerung der Fejérschen Mittel-wertbildung bei reinperiodischen Funktionen — aus der Fourierreihe formaltrigonometrische Polynome gebildet werden, von denen mit Hilfe desFundamentalsatzes gezeigt wird, daß sie gegen die durch die Fourierreihedargestellte Funktion gleichmäßig konvergieren.

In Abh. II wurde beim Beweis des Approximationssatzes zuerst zueiner mit der gegebenen fp. Funktion eng zusammenhängenden Funktion

*) Eine Voranzeige erschien in einer C.-R.-Note, Bochner [1 .

3 ) Wir werden die ersten zwei Abhandlungen, [4] und [5], in der angegebenenReihenfolge als Abh. I und Abh. II zitieren.