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S. Boehner.

unendlich vieler Variablen übergegangen (vgl. § 2, 7.) und dann von dieserFunktion die Approximierbarkeit durch trigonometrische Polynome nach-gewiesen, wozu im Anhang II Fejérpolynome herangezogen wurden, wäh-rend wir in § 2 zum Approximationssatz in einem Schritt, nämlich durchdirekte Summation der fp. Funktion selbst gelangen werden 3 ).

Die §§ 2 und 3 enthalten das Summationsverfahren und einige Neben-ergebnisse; und in den §§ 4 und 5 wird sich auf dem Wege über dieYerschiebungsfunktion (§ 4, 1.) eine Auffassung der fp. Funktionen als„Normalfunktionen" (§5, 1.) herausbilden, die wir auch im zweiten Teildieser Arbeit, in welcher wir die Definition und die charakteristischenEigenschaften der Fastperiodizität auf Funktionen mehrerer Variablen aus-dehnen werden, vertreten werden.

§ 1.

Referat und Bemerkungen.

1. Definition. Eine (für — oo < x < -f- oo definierte und) stetigeFunktion f(x) = u(x) + iv(x) soll fastperiodisch heißen, wenn es zujedem e > 0 eine Länge 1 = 1 (e) > 0 derart gibt, daß jedes Intervall a < r < ßder Länge ß — a = l mindestens eine Verschiebungszahl r = z(f,e) ent-hält. Unter einer Verschiebungszahl r(f, e) ist jede Zahl des Intervalls— oo < T < -j- oo zu verstehen, welche der Ungleichung

I f(x + t ) — f(x) I <[ e (—oo<x<+oo)

genügt.

Bemerkung. Die Verschiebungszahlen liegen „relativ dicht auf derx -Achse", d. h. für jedes e 0 ist die Gesamtheit der r (f,e 0 ) auf derr-Achse in jedem Intervall einer angebbaren Länge l(e 0 ) mit mindestenseiner Zahl t (e 0 ) vertreten.

Mit f(x) ist auch \f(x)\ fastperiodisch,.

2. Jede fp. Funktion ist beschränkt und gleichmäßig stetig.

Bemerkung. Die Bezeichnungen „beschränkt", „gleichmäßig stetig",

„gleichmäßig konvergent" usw. ohne Zusatz, beziehen sich immer aufdas gesamte Definitionsgebiet der betrachteten Funktion (also in der Regelauf : — oo < x < + oo).

3. Summe und Produkt von fp. Funktionen sind fp. Funktionen.

Bemerkung. Diese Erhaltungssätze beruhen darauf, daß zu zwei

irgendwelchen fp. Funktionen f(x) und g (x) relativ dicht gelegene

3 ) Es sei hier die Bemerkung gestattet, daß Verfasser das Summationsverfahrenohne Kenntnis der Abh. II — nur die Voranzeige in Bohr [2] war vorhanden —gefunden hat.