Fastperiodische Funktionen. I.

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gemeinsame Verschiebungszahlen, d. h. Zahlen, die sowohl mit r (f,e) alsauch r(g,e) zu bezeichnen sind, gehören.

Jedes Exponentialpolynom

N

y a e ik " x

¿-J n

n— 1

ist eine fp. Funktion.

Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von fp.Funktionen ist eine fp. Funktion.

Bemerkung. In einem Ausdruck der Form ae i} - x ist immer X alsreell vorausgesetzt, hingegen a keiner Realitätsbedingung unterworfen.

4. Für jede fp. Funktion existiert der Mittelwert

T C+T

lim \ (f(t)dt(= lim i f f(t)dt ; c reell),

T-> ce J J K T-+ oo 1 J '

0 C

den wir mit M{f(t)} bezeichnen.

Bemerkung. Bei allen Mittelwertbildungen werden wir innerhalbder geschweiften Klammer {} diejenige(n) Variable(n), über welche integriertwerden soll, mit t (bzw. t lt i 2 , ...) bezeichnen, also z. B.

T

M{H(t, X, I, c)} == lim - T i H(t, x,Ç,c)dt.

T -> co J

5. Zu jeder fp. Funktion f(x) gibt es nur abzählbar viele Werte X,für welche der Mittelwert

a{X) = M{f(t)e~ iU }

von Null verschieden ist.

Mit den so herausspringenden Exponenten X, die wir in irgendeinerAnordnung mit A 1 ,A^,A a> ... bezeichnen (den Fourierexponenten) undden dazugehörigen Mittelwerten

A a , = a (AJ, ^ = a(J 2 ), A Ä , = a(A a ), ...

(den Fourierkoeffizienten) bilden wir formal die zu f(x) gehörigeFourierreihe

f(x)~y¡A An e iA " x .

Bemerkung. Abweichend von H. Bohr bezeichnen wir den zu A ngehörigen Exponenten mit A a „ und nicht mit A n ; mit A n ist ein zu A — ngehöriger Koeffizient gemeint. — Man kann in die Exponentenfolge zudenjenigen A n , für welche Aj n =j= 0, noch beliebig viele andere Exponenten Xin (höchstens) abzählbarer Anzahl hinzunehmen, wenn man ihnen dieFourierkoeffizienten Aj = a(A) = 0 zuordnet. Derartige formalen Erweite-