122 S. Bochner.

ruiigen der Exponentenfolge werden wir als „ Ergänzung " bezeichnen, unddie „ univesentlichen " Terme von den „ wesentlichen " unterscheiden. DieMenge der wesentlichen Exponenten einer Funktion f(x) heiße ihre(charakteristische) Zahlenmenge L (bzw. L 0 , L v , ...).

6. Bei festgehaltenen A y , /„, ..., X n fällt der Mittelivert

M{\f{t)-2a v e^rt\^}r=l

am kleinsten aus für

a v a (A v ) = A¿ v ( V — — 1, 2, ..., vi )«

äs besteht die Besseische Ungleichung

Z\A An \* £M{\f{t)\ 2 }.

Bemerkung. Eine Folge von fp. Funktionen

(1) <pi(x), <pa x )>

heiße im Mittel konvergent gegen f(x), wenn die Limesgleichung

(2) lim M{\(p m (t)- /■(i)| 9 } = 0

m-> co

besteht. Auf Grund von 11. ergibt sich leicht, daß es zu einer Folge (1)nur eine einzige fp. Funktion f(x) geben kann, welche (2) befriedigt.Die Relation (2) zieht die (leicht verständliche) Limesgleichung

(3) lim M{\<p m (t)-<p n {t)\*} = 0

m-> co, n~> co

nach sich. Wenn eine Folge (1) der Limesgleichung (3) genügt, heiße sieim Mittel konvergent.

7. Eine Folge von fp. Funktionen

CO) ~ È^e iA « x

71=1

konvergiere gleichmäßig gegen

f(x) ~ yj Aj n e iAnX

(die Exponentenfolgen sind beliebig „ergänzt"). Dann bestehen dieRelationen

lim Aa% = Aa„ (n = 1,2,3,...).

m-> co

8. Eine Menge A von fp. Funktionen <p(x) ist eine „ ausgezeichneteMenge", falls

a) die Funktionen „gleichartig gleichmäßig stetig " sind, d. h. fallsbei jedem e für ein geeignetes ô = ô(e) (das Stetigkeits-ô (e)) für alleFunktionen cp ( x ) und alle Punktepaare | x 1 — x 2 I ó die Ungleichung

besteht;