Fastperiodische Funktionen. I. 123

b) die Funktionen „gleichartig fastperiodisch" sind, d. h. zu jedem srelativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen r = r(e) besitzen:

\q>(x) — <p(x + T )|^ £ für alle cp(x) aus A.

Bemerkung. Wenn für zwei fp. Funktionen f(x) und g(x) dieKelation

Ob. Gr. I g (x-\-r) — g (x) \^ Ob. Gr. \f(x J r z) — f(x)\ (— oo<z<-f-œ)

— 0C<œ< + OO -C0<®< + 00

bestellt, nennen wir f(x) eine Majorante von g(x) und g{x) durch f(x)majori si er bar. Offenbar ist eine majori si erbare Menge, d. h. eine solche,zu der es eine gemeinsame (fp.) Majorante gibt, eine ausgezeichnete, weildie Stetigkeits-á und die Verschiebungszahlen der Majorante gemeinsameStetigkeits - ô und Verschiebungszahlen für die ganze Menge liefern.

9. Eine ausgezeichnete Folge von Funktionen

(Pi(x), cp 2 (x), ...,

die im Mittel konvergent sind, ist gleichmäßig konvergent.

Insbesondere, damit die Folge cp v (x ) gegen die vorgegebene fp. Funk-tion f(x) gleichmäßig konvergiert, ist (notwendig und) hinreichend, daßsie gegen f{x) im Mittel konvergiert (vgl. 6. Bemerkung).

Erweitert man eine ausgezeichnete Menge A um ihre (durch gleich-mäßige Approximation entstehenden) Häufungsfunktionen, so ist die soentstandene abgeschlossene Hülle H (A) wiederum eine ausgezeichneteMenge (und zwar mit denselben Stetigkeits -ó und Verschiebungszahlen).

10. Fundamentalsatz. Für eine fp. Funktion f(x) ~ ^Aj n e iA " xbestehen die Relationen

2\ Aa % \* = M{\f(t)\*}lim M{ I f(t) — Aa„ e iAnt | 2 } = 0 .

N-><x> n = 1

11. Es sei fix) eine fp. Funktion. Aus M{\f(t)\ 2 } = 0 folgtf(x) = 0.

12. Aus 10. und 11. folgt der

Eindeutigkeitssatz. Eine fp. Funktion f(x) ohne wesentliche Terme,

f(x) ~ 0,

ist identisch Null,

f(x) = 0.

13. Die fp. Funktion f(x) habe die wesentlichen Exponenten

■^1 ' -^1 ' "^3 , ' ' ' '