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A. Khintchine. Gesetz der großen Zahlen.

ist und daß (18) und (19) die Ergebnisse zweier voneinander unabhängigenVersuchsreihen darstellen, so hat man folglich nach dem Multiplikations-theorem der Wahrscheinlichkeiten

(20) 1-S 1 ^).

¿ = 1

Wegen

-r > L » -,

k " {lg (A k -

überzeugt man sich leicht, daß die Reihe

CO

'H"*k= 1

divergiert. Da nun die Reihe

ihrer Definition gemäß konvergent sein muß, so folgt aus (20)

lim (1 — 2/ Pi) - 0.

&-> co i— 1

Deshalb kann K so gewählt werden, daß

K

> 1 — -1 t x 2

1= 1

wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 —- können wir dann behaupten,

daß für wenigstens ein k, 1 <LJc^K, die Relation (17) erfüllt wird.Tragen wir noch Sorge dafür, daß A > n m¡t o ist, und bemerken, daß1 — 2 e > 1 — ô sein muß, so können wir, das letzterhaltene Resultat mitdemjenigen des ersten Abschnitts dieses Paragraphen vereinigend, dasGesamtergebnis folgenderweise aussprechen.

Sind á und r¡ feste positive Zahlen, so läßt sich eine ganze positiveund zwar beliebig große Zahl A derart finden, daß mit einer Wahrschein-lichkeit > 1 — r¡ zweierlei behauptet werden darf, nämlich

1. Es ist \ ¡ u(n)\ < (1 + à)%{n) für alle n^>A;

2. Es ist \/x{n)\ > (1 — ô)x(n) für ivenigstens ein n^> A .

Damit ist aber unser Satz bewiesen.

Moskau, den 24. 3. 1925.

(Eingegangen am 2. 6. 1925.)