Über die simultane Approximation von Irrationalzahlen.

Von

Ph. Furtwängler in Wien.

Die Theorie der Approximation einer einzelnen reellen Irrationalzahlist durch den folgenden Doppelsatz zu einem gewissen Abschluß gekommen:Satz la. Ist cc eine beliebige reelle Irrationalität und k eine Kon-stante, die nicht kleiner als — ist, so hat die Ungleichung

T5

X

a

y

< -4

y

stets unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen rationalenZahlen x, y.

Satz lb. Ist k eine positive Konstante, die kleiner als —= ist, so

gibt es stets reelle Irrationalitäten a von solcher Beschaffenheit, daß dieUngleichung

k

x

a

y

nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen rationalenZahlen x, y besitzt.

Für die simultane Approximation mehrerer rational unabhängigerIrrationalitäten ist ein abschließendes Resultat nicht bekannt. Unter-suchungen, die in der Richtung des Satzes la liegen, lassen sich nachMethoden von Dirichlet und Minkowski durchführen; eine Erweiterungdes Satzes lb ist von Herrn O.Perron 1 ) angegeben.

Im folgenden soll ein allgemeiner Satz über die gleichzeitige Approxi-mation von n — 1 rational unabhängigen reellen Irrationalitäten bewiesenwerden, von dem der Satz 1 b ein spezieller Fall ist und der wesentlich

1 ) Über Diophantische Approximationen, Math. Annalen 83 (1921), S. 77.Mathematische Annalen. 96. 12