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Ph. Furtwängler.

schärfere Resultate liefert als die Entwicklungen des Herrn Perron, wiespäter noch näher ausgeführt wird. Der Satz lautet:

Satz 2. Ist k eine positive Konstante, die kleiner als

l

~TI D 1 2(n_1)

ist, wo D die absolut kleinste Diskriminante eines reellen Zahlkörpersn-ten Grades bedeutet, so gibt es stets n — 1 reelle rational unabhängigeIrrationalitäten a 1 , a 2 , ..., cc n _ 1 von solcher Beschaffenheit, daß die n — 1Ungleichungen

"'.< k — (* = 1, 2, .. re — 1)

X,

«,

1+ -¡ X„ I n

nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden ) ganzen Zahlenx x , x i , ..., x n besitzen.

Da 5 die kleinste Diskriminante eines reellen quadratischen Zahl-körpers ist, geht offenbar Satz 1 b aus Satz 2 für n = 2 hervor. Durchden Satz 2 scheint mir die Bedeutung der Konstanten —= in Satz lbvollständig aufgeklärt zu sein.

Die absolut kleinste Diskriminante eines (reellen) kubischen Körpersist — 23. Es folgt daher speziell aus Satz 2 :

Satz 8. 1st k eine positive Konstante, diekleiner ist als (0,45663),

y 23

so gibt es stets zwei reelle rational unabhängige Irrationalitäten u 1 , c:„von solcher Beschaffenheit, daß die Ungleichungen :

X

a i

1 z

<T fi — —

^ 3/5 ^9

<

nicht unendlich viele Lösungen in ganzen teilerfremden Zahlen x, y, z haben.

Aus den Untersuchungen des Herrn Perron ergibt sich ein dem Satz 3analoger Satz nur für k < 0,04269.

Die geometrischen Methoden von Minkowski haben ergeben, daß beider simultanen Approximation von zwei Irrationalitäten der „Näherungs-koeffizient" k = 2 / 3 allgemein zulässig ist. Es wird dies Resultat erhalten,indem als „Eichkörper" bei der Approximation Oktaeder benutzt werden,die in bestimmter Weise zum Koordinatensystem orientiert sind. Be-achtet man noch, was ebenfalls Minkowski festgestellt hat, daß gitter-förmig angeordnete kongruente Oktaeder höchstens 18 / 19 des Raumes aus-füllen können, so ergibt sich, daß k = f 8 / 19 (0,64889) allgemein als

Näherungskoeffizient zulässig ist. Ob er noch weiter auf hinabgedrückt