Simultane Approximation von Irrationalzahlen.

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werden kann, wie man in 'Analogie mit Satz la vermuten würde, habeich bisher nicht festgestellt. Die Approximationsverfahren, die man imAnschluß an die Ideen von Minkowski entwickeln kann, sind zwar geo-metrisch einfach und durchsichtig, führen aber analytisch zu ziemlichschwerfälligen Algorithmen. Ein so einfaches Verfahren, wie die gewöhn-liche Kettenbruchentwicklung für eine einzelne Irrationalität, das geome-trisch durchsichtig und formal einfach ist, fehlt noch im Falle von mehrerenIrrationalitäten.

§1-

Es sei k ein reeller algebraischer Zahlkörper w-ten Grades mit derDiskriminante D und es sei co 2 , ..., co n eine Minimalbasis von Je.Die konjugierten Körper zu k sollen mit k", .. ., k m bezeichnet werden,entsprechend die konjugierten Zahlen zu einer Zahl co aus k mit co", ..., co (n) .Die adjungierte Determinante zu

co 1coi'

co<¡ . .

CO -2 . .

■ m n//

• co n

sei

Q x

Q'í

Q, ..

Ü2 ..

■ °n

■ V'ñ

coj")

co^ .

co <n)«

Q.¡ n) ..

■ C l n n)

Da Qi eine Zahl aus k ist, würden mit ihr gleichzeitig die konjugiertenZahlen verschwinden, was zu D = 0 führen würde ; es ist daher Q i =4= 0

(¿ = 1,2,...,»). Die Quotienten ~ (¿ = 1, 2, — 1) sind reell,

denn sie sind die Lösungen des linearen Gleichungssystems:

co" y \ + °)2 V2 + • • • + On-iVn-i-h coj" = 0

co\ n) y, -f co'"»i/„ + ... + co<"> V , + co<»> = 0

1 "1 1 2 ^2 1 1 n— l^n—l ' n

und dies System geht bei Vertauschung von + i mit — i in sich über.Es sollen jetzt die Quotienten (¿ = 1, 2, ..., n — 1) simultan

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approximiert werden. Es sei

(1)

Wir können dann setzen :

(2)

i El _ ® l I <

%n Qll

1 + -

(¿=1,2, ...,»-1).

El

Xn

ü¡_On

1 +

1 '

| £ í!^1 (¿ = 1, 2, ..., » — 1).

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