172 Ph. Furtwängler.

Aus den letzten Gleichungen folgt:

. i i ] D . k(E 1 Cú 1 -f- ... +f„_! C0 n _.)

(o 1 x 1 -j- co 3 Xq -j- <w n x n Q x n + t

(3)

Cüi X\ -j- CO-¿ X% ~j~ • • • ~j~ tjJn x n —

7 / " 1 . " \

k(e 1 œ 1 +'.- J re n _ 1 o> n _ 1 )

1

i n—1

CO< n) X 1 + C0Í n) X 9 -\- ... + co¿ n) x =11 1 2 2 1 1 n n

fc ( e l <ö l ,) +-■■ + *»-!<»«-!)

1

I n- 1

Es muß daher gelten:

(4) I Norm (w^x^ + w 2 x 2 + ... + co n x n ) \

k'

= k n ~ 1

I TT ( W) 1 i tfl

~Q~ Ii ( £l<Wl + • • • +

Q »■ «

l =2

1+ —^-r

l*„ ! "- 1

wo k' eine Konstante bedeutet, die nach oben und unten geschränkt ist.

Sollen nun die Ungleichungen ( 1 ) unendlich viele Lösungen in ganzen(teilerfremden) Zahlen x 1 ,x 2 ,...,x n haben, so muß es unter diesen solchemit beliebig großem \x n \ geben. Es ergibt sich dann aus (4), da dielinke Seite nicht kleiner als 1 sein kann:

n—l \ 1 I

(5) & ;>-

1 D ' ' Û (h *>l l) + • • • + CO^_ i )

1=2

Es ist jetzt zu untersuchen, wie man den Quotienten

(6) Q =

On

H(.e 1 co[ i) +... + e )

1 = 2

durch geeignete Wahl der Minimalbasis co 1 , co. 2 , ..co n , die noch freisteht,möglichst groß machen kann.

§2.

Es soll gezeigt werden, daß man durch geeignete Wahl der Minimal-basis den Quotienten Q größer als 1 — s machen kann, wenn e eine be-liebig kleine positive Zahl bedeutet. Zu diesem Zweck wählen wirco 1 , o) a , ..., co n so, daß sowohl in der Determinante Q n wie auch in dem

Produkt JI{e co^ -f- • • • + «»-1 co n ( -i) der absolute Betrag eines Gliedes

i=2

(und zwar in beiden Fällen desselben Gliedes) die absoluten Beträge alleranderen Glieder beliebig stark übertrifft.