Simultane Approximation von Irrationalzahlen. 173

Es sei erstens k" reell. Wir wollen dann zeigen, daß man stets einebeliebige Basiszahl, etwa co 1 , durch x 1 = co 1 + tt 2 co 2 a>„ ( «¿ ganz

rational) ersetzen kann, so daß

(7) Kl >?|TI <) | (* = 3,4,

wo g eine beliebig große positive Zahl bedeutet. Wir lösen das Gleichungs-system :

(8)

wo g' = (g + 1)$ und

# = Max (I co2 I -}-. .. -)- I co^n I) (*' = 2, 3, ..n)ist. Das Gleichungssystem hat eine reelle Lösung. Setzt man dann

u i =[">]» s0 wirc ^

Kl >g'-& = g&, 1*^1 <# (. = 3,4,...,»)

und daher ; x" \ g \ x^ | (*" = 3,4,...,«).

Es seien zweitens k" und k'" konjugiert komplex. Setzt man, wennco = Q + a i ist, £> = 9î(o)) und o = ^(fo), so läßt sich zeigen, daß manstets eine beliebige Basiszahl, etwa co t , durch x t = co 1 + u„ co„ + ... + u n co nso ersetzen kann, daß

CO 1

ltf(Ol

H - ^"2

+ Üo

ff 1

CO' 2 + •

ffff i

CO O + .

• "1" u n. + U, 1 co n

= 9= 0

(n)C0 1

+ U 2

(n) iCO o -f- .

i — (n)• "T~ M n

= 0

«

(10)

(9) |9ÎK)|>0Ï3K)|, |3íK)|>^hi| (¿==4,5,

wo g eine beliebig große positive Zahl bedeutet. Wir lösen zu diesemZweck die Gleichungen:

SR «) + üj î(œ 2 ") + ... + »«M «) = (g +1)0

SK«*") + Ü 2 3(coí') + . . . + Ü„Q(coñ') = 0

cof ~f" C oP -)-... -f- U n COn =0 (* = 4,5, ...,«)

wo d dieselbe Bedeutung wie oben hat. Die Gleichungen haben stets einereelle Lösung. Setzt man dann u i = [ m ¿] , so ergibt sich wie unter 1., daßdie Bedingungen (9) erfüllt sind.

In ganz analoger Weise kann man offenbar eine beliebige Basiszahl,etwa coj, durch x 1 — co 1 + u„ co 2 + ... + u n co n so ersetzen, daß die Un-gleichungen :

(11) l3W)l>f|8t(*i')|. |SK)I>^I^I (* = 4,5,...,«)gelten, wo g wieder eine beliebig große positive Zahl ist.

Es ist zu beachten, daß in allen diesen Fällen immer nur eine ein-zelne Basiszahl geändert wird, während alle übrigen unverändert bleiben.