174

Ph. Furtwängler.

Es mögen nun die Körper k, k" , k {r) reell, ferner

7>+i> ¿.(r+2). . jXn—i) jjn)

A/ j ¡V j » • t y rv j ri/

konjugiert komplex sein. Man kann dann auf Grund der vorstehendenEntwicklungen die Minimalbasis co 1 , co^, ..., co n so wählen, daß in derDeterminante

(12)

(O i

COÏ .

CO n —i

œ?

œ? .

COfi — 1

QM

f?' 1 ' •

■ &n-l

Ji)Ol

a' 1 ' .

. o si,

QÍ S) •

. o«

l

(«)Ol

0? .

J 8)

°n-1

der absolute Betrag eines Gliedes der Hauptdiagonale größer ist als das

g- fache des absoluten Betrages eines anderen Gliedes in der gleichen Spalte.

Dabei ist gesetzt:

(r+ai-l) _ (*) , . '« (r+2*) (i) • (4) / » = 1, 2, ..., 7l\Mi = Qi +1 Oi , C0i = Qi —lOi L_ 1 0 , r-j-2s—n

\fC I , LJ , . . . J S J

und g bezeichnet eine beliebig große positive Zahl. Bezeichnet man dasProdukt der Glieder der Hauptdiagonale in (12) mit P, so gilt:

(13) |ßJ=2 s |P|.(l + 0(i)).

Für das Produkt

JJ(fi] cof COn-x) = n

i=2

ergibt sich:

(14) i n i <¡7Z(¡ ! + ••• +

Ai) i'^n— 1 I

2 'IP -Il

+ 0(j

Aus den Beziehungen (13) und (14) folgt dann unsere Behauptungüber den Quotienten Q. Damit ist aber Satz 2 vollständig bewiesen.

Für den vierten und die höheren Grade waren bisher die reellenKörper mit absolut kleinster Diskriminante nicht bekannt. Auf meineVeranlassung hat mein Schüler Herr J. Mayer die biquadratischen Körperuntersucht und gefunden, daß der reelle biquadratische Körper mit absolutkleinster Diskriminante die Diskriminante — 275 hat. Er kann durchdie Zahl

• 1

X =

■Ys -h2> 5

definiert werden, die der Gleichung

! x 4 + 2a; 3 — X — 1 = 0