Simultane Approximation von Irrationalzahlen.

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genügt 2 ). Man erhält daher für n = 4 den

Satz 4. Ist k eine positive Konstante kleiner als 6 (0,392),

y 275

so gibt es stets drei reelle Irrationalitäten w { (¿ = 1,2,3) von solcherBeschaffenheit, daß die Ungleichungen

<r-V (¿ = 1,2,3)

x¡

CO;

X, '

nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen Zahlen x lt z.,, x :i , x,haben.

Herr Perron (Satz 4) findet für k die Grenze 0,00383.

Da man in Satz 2 für D die Diskriminante eines beliebigen reellenZahlkörpers w-ten Grades oder einer irreduziblen Gleichung w-ten Gradesmit wenigstens einer reellen Wurzel nehmen kann, betrachten wir, umauch einen Satz über die Approximation einer beliebigen Anzahl von

71. —

Irrationalitäten zu erhalten, den Körper V 2. Der absolute Betrag seinerDiskriminante ist 2 n ~ l n n , und es kann daher, wenn man n— 1 Irratio-nalitäten gleichzeitig approximiert, der Näherungskoeffizient k allgemeinnicht kleiner als ,

y 2w « 2(B_1)

und um so mehr als _ gemacht werden. Wir haben deshalb

2 I n

Satz 5. Es gibt stets n—\ reelle Irrationalitäten a l , « a , ..., a n _ 1von solcher Art, daß die Ungleichungen

- (¿=l,2,...,rc—1)

x n i i+

|n| "- 1

nicht durch unendlich viele Systeme (teilerfremder) ganzer Zahlen x 1; x„,..., x nbefriedigt werden können, wenn

k< 1

ist, und um so mehr, wenn k < —7= ist.

2 )n

/»/— \n-l

1 i V 2 — 1 ]

Herr Perron findet für k die Grenze 1 \—2—) 'n= 11 ist dies angenähert 1,5 -10 — 16 , während ^-~=. den Wert 0,15 hat.

3 ) Es ergiebt sich also das bemerkenswerte Resultat, daß der reelle biquadra-tische Körper mit absolut kleinster Diskriminante ein Relativkörper des reellen qua-dratischen Körpers mit kleinster Diskriminante ist.

(Eingegangen am 4. 11. 1925.)