Einfacher Beweis des Hilbertsclien Irreduzibilitätssatzes.

Von

Karl Dörge in Köln.

Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz besagt das Folgende:

F (x^, Xn , . . . , X m , ¿2 , . . . J t s )

sei ein im Bereich P der rationalen Zahlen irreduzibles Polynom vonX], ..x m , t 1 , ..., t s mit ganzen rationalen Koeffizienten. Dann kann manfür t 1 , ..., t 3 auf unendlich viele Arten solche ganze rationale Zahlent°, .. ., ts wählen, daß F{x 1 , ..x m , t¡) als Polynom der x m P

irreduzibel ist. D. Hilbert hat den Satz im Jahre 1892 in Crelles Journal110 bewiesen. Einen etwas einfacheren Beweis gab Mertens 1911 in denWiener Akademieberichten. Erst Th. Skolem hat den Satz im Jahre1921 in seiner Arbeit „Untersuchungen über die möglichen Verteilungenganzzahliger Lösungen gewisser Gleichungen" für den Fall, daß F nurvon einer Variablen x und einem Parameter t abhängt, verschärft, indemer folgendes zeigte: Die Folge aller ganzen rationalen positiven^ Zahlen t,für welche F{x, t) in P zerfällt, sei t t < i 2 < t a < ... . Ist dann A (S)die Anzahl derjenigen unter ihnen, welche unterhalb der reellen Zahl Sliegen, so gilt

lim — í = 0.

S-voo Ä

Ich habe in meiner in den Math. Annalen 95, S. 84—97 erschienenenNote „Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz" 2 ) die Skolemsche Methode ver-schärft und folgendes erhalten : Es gibt eine positive Zahl a zwischen 0und 1, so daß statt der Skolemschen Relation die schärfere besteht

(I) lim — o .

V ' rrl-a

S~> CO O

1 ) Alles, was hier und im folgenden von den positiven Zahlen ausgesprochenwird, gilt analog für die negativen Zahlen.

2 ) Im folgenden benutze ich die Abkürzungen H.I. für Hilbertscher Irreduzibilitäts-satz, Z. H. I. für „Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz".