K. Dörge. Hilbertscher Irreduzibilitätssatz.

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Entsprechendes ließ sich dort zeigen für den allgemeinen Fall, in dem essich um Polynome der Form F{x 1 , ..x m , handelt, welche

also von beliebig vielen Variablen und beliebig vielen Parametern ab-hängen. In meiner Note „Über die Seltenheit der reduziblen Polynome undder Normalgleichungen" 3 ), die in den Math. Annalen 95, S. 247 — 256, er-schienen ist, zeigte ich, daß man in wichtigen Spezialfällen des H. I. dieRelation (I) sehr einfach aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnungfolgern kann. Erst als ich dies vortrug, wurde ich von Herrn ProfessorE. Schmidt darauf aufmerksam gemacht, daß man nicht nur die Spezialfälleauf diese Weise behandeln kann, sondern daß wohl ebenso einfach der all-gemeine Irreduzibilitätssatz mit der Verschärfung (I) folgt, wenn man nichtden Mittelwertsatz, sondern eine von H. A. Schwarz herrührende Verall-gemeinerung desselben benutzt. Damit ist ein sehr einfacher Beweis derVerschärfung (I) des Irreduzibilitätssatzes erhalten, welcher in folgendemdargestellt werden soll' 4 ). Der Beweis benutzt außer dem verallgemeinertenMittelwertsatz nur die auch allen bisherigen Beweisen zugrunde liegendeReihenentwicklung der algebraischen Funktionen.

Erster Teil:

Polynome von einer Variablen und einem Parameter.

Sei also F(x, t) ein in P irreduzibles Polynom von x und t. DerGrad in x sei n. Sieht man nun immer von denjenigen, endlich vielenganzen rationalen Werten t ab, für die x" aus F herausfällt, so genügt esfür das Folgende, wie ich in Z. H. I. gezeigt habe, sich auf den Fall zubeschränken, daß in F(x, t ) — aufgefaßt als Polynom von x — derKoeffizient des höchsten Gliedes x n gleich 1 ist. Sei dies also der Fall.Die Folge sämtlicher ganzer rationaler positiver Werte t, für die F(x, t)als Funktion von x in P zerfällt, sei wieder t x < t 9 < t 8 < ... . DieMenge dieser Werte ist, wie in Z. H. I. gezeigt worden ist, enthalten in einerMenge, welche aufgefaßt werden kann als die Vereinigungsmenge endlichvieler Mengen, die man so erhält: Es existieren gewisse Funktionen(pi (t), cp 2 (t ),..., Diese Funktionen entstehen durch alle möglichen

Zerlegungen von F(x, t ) im Gebiet der Potenzreihen, genauer Laurent-reihen, nach gebrochenen Potenzen von t. Jede von ihnen hat die Gestalt

 fc-i

= 4 —(— ... —|— c -f- d -j —... . t*

3 ) Im folgenden abgekürzt als R. P.

4 ) Gleichzeitig ergibt sich hier nunmehr, daß es möglich ist, eine geeignete Zahl a ,mit der die Ungleichung (I) besteht, allein mittels der Grade von F zu bestimmen.