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K. Dörge.

Darin ist q eine ganze rationale positive, lc eine ganze rationale Zahl.a,b,... sind von t unabhängige reelle oder komplexe Konstanten. DieAnzahl N ist höchstens 2" -1 . Keine der Funktionen reduziert sich aufein Polynom von t mit rationalen Koeffizienten. Jeder Funktion 9o v ordneman die Folge aller ganzen rationalen positiven Werte ¿i W < ¿i' ' < 4*° < •••zu, für welche (p r (t^ v) ) eine ganze rationale Zahl wird. Die Folge derganzen rationalen positiven Werte t, für welche F(x, t) in P zerfällt, istdann enthalten in der Folge, welche durch Vereinigung der N Folgen

eine der N Funktionen <p r und — unter Änderung der Bezeichnung gegen-über dem Früheren — sei

die Folge der ganzen rationalen positiven Werte t, für die cp(t r ) eineganze rationale Zahl ist. Diese Folge enthalte nicht nur endlich vieleElemente. Dann kann cp (t) nicht ein Polynom von t sein. Denn indiesem Falle müßte es rationale Koeffizienten enthalten. Dies ist abernach Voraussetzung nicht der Fall. Ferner müssen — vgl. R. P., Beweisdes ersten Hilfssatzes — sämtliche Koeffizienten a, b, ... reell sein; imentgegengesetzten Fall wäre nämlich <p(t) nur für endlich viele ganzerationale Werte t reell.

Nun verwenden wir folgenden Satz von H.A. Schwarz 5 ):

seien reelle Zahlen. Es sei f(t) eine reelle, in dem Intervall t v <.t <mindestens n mal differenzierbare und bei t v und t v+n stetige Funktion.Dann gibt es zwischen t v und t r+n eine Stelle x derart, daß die Gleichungbesteht

t[ r) < <2 V) < ú v) < • • • entsteht.

Sei nunmehr

k k—1

<p(t) — at q -|- bt q + -- - + c + ^ t + -- -

ti

(H)

1 2 <C ¿o ^3 ^ * * *

ty <C ty + l <C. ... <C tv+n

= /■<">( r).

i K ... C _1 C

5 ) Ges. math. Werke 2, S. 236-237.