Hilbertscher Irreduzibilitätssatz.

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Diesen Satz wenden wir auf die Funktion cp an, indem wir fürt r , t v+ 1, t v+n aufeinanderfolgende Werte unserer Folge (II) setzen.

' i

n wählen wir so groß, daß qs (n) nur noch negative Potenzen von t' 1 ent-hält 6 ). Beachten wir dann, daß der Nenner links das DifEerenzenproduktder t r , ..., t v+n ist, so schließen wir daraus wie in R. P., Hilfssatz 1 und 2:Es gibt eine positive Zahl « zwischen 0 und 1, so daß die Ungleichungbesteht

(III) tv+n t V ~^> ty.

Daraus schließt man wiederum wie in R. P. : Bedeutet A(S) die Anzahlder t Werte aus (II) unterhalb S, so ist von einer gewissen Zahl S ab

(IV) ^(Ä)^konst. S l ~ a .

Für jede der N Folgen if < t¡ v> < .. . gilt also eine Formel (IV).Also gilt für die Folge, welche durch Vereinigung der N Folgen entstehtund welche alle t, für die F(x, t) in P zerfällt, enthält, ebenfalls eine Un-gleichung der Gestalt (IV) 7 ).

Dazu hat man nur für cc die kleinste der N erhaltenen Zahlen a undfür konst. die Summe der N erhaltenen, mit konst. bezeichneten Größenzu verstehen. Dabei ergibt sich hier nunmehr auch, daß es möglich ist,eine Zahl a, für die die Ungleichung (IV) besteht, bereits dann anzu-geben, wenn man nur eine obere Schranke für die höchsten Exponentender Reihen rp v kennt. Eine solche obere Schranke kann man bestimmen,wenn man nur die Grade von F kennt. Es ist also eine geeignete Zahl aallein durch die Grade von F bestimmbar.

Etwas schärfer kann man für die Folge der t, für die F(x, t ) in Pzerfällt, aus (III) auch den folgenden Satz ableiten: Es gibt eine positiveganze rationale Zahl M und eine positive Zahl a, so daß von einem ge-wissen Index ab die Ungleichung besteht

(V) t v+M ~tr>ty.

Darin können geeignete Zahlen M und a allein durch die Grade von Fbestimmt werden. Eine ganz grobe Abschätzung zeigt, daß man ein ge-eignetes Zahlenpaar cc, M auf folgende Weise erhält. Unter Auszeichnungvon X habe F die Gestalt F(x, t) = a 0 (t)x n + a 1 (t) x n ~ 1 + ... + a n (<).Die Grade der a y in bezug auf t seien g r für v = 0, 1, ..., n. Unter M

6 ) Tatsächlich empfiehlt es sich, um einen möglichst günstigen Wert à zu er-halten, 2 p-j oder 2 J + 1 oder 2 + 2 mal zu differenzieren.

') Daraus folgt das Bestehen der Relation (I). Unser Satz ist also bewiesen.