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K. Dörge.

verstehe man —dann

a =

so besteht mit diesem Paar a, M die Ungleichung (V). Diese ist jedoch imFalle M < 1 nichtssagend, weil dann a = 0 wird. Man kann auch indiesem Falle leicht ein geeignetes Paar a, M bestimmen.

Der allgemeine Fall, in dem es sich um Polynome von beliebig vielenVariablen und beliebig vielen Parametern handelt, läßt sich im wesent-lichen auf den im ersten Teil behandelten Fall zurückführen. Wir stützenuns dabei auf einen von Kronecker herrührenden Satz, mittels dessen mandie Frage, ob ein Polynom von mehreren Veränderlichen zerfällt, auf dieFrage zurückführt, ob ein dem ursprünglichen zuzuordnendes Polynomeiner Veränderlichen in der Weise zerfällt, daß in den Faktoren nur Ex-ponenten auftreten, welche einer gewissen Bedingung unterliegen °). DieZuordnung geschieht dabei auf folgende Weise: Das zu untersuchendePolynom sei F(x 1 , x 2 , .x m ). Sein Grad 10 ) sei h. Man setze d = h + 1.

Dann mache man die Substitution x fl = | , ¡u = 1, 2, ..tn. Dadurchgeht F{x 1 , ..., x m ) in ein Polynom F(£) der einen Variablen £ über. Danngilt der Satz: F(x i; ...,x m ) zerfällt in P als Polynom der x dann undnur dann in zwei Faktoren, wenn F(£) in P derart in zwei Faktorenzerfällt, daß diese nur Glieder mit — von E. Noether so genannten — in-duzierten Exponenten enthalten.

Wir betrachten nun zunächst Polynome, welche von beliebig vielenVariablen, aber nur von einem Parameter abhängen, welche also die GestaltF(x lt ..., x m , t) haben. Dabei sei F wiederum als Polynom von x 1 ,...,tin P irreduzibel. Wir fragen nach den ganzen rationalen positiven Werten i°,für die es als Polynom von x 1 ,...,x m in P zerfällt. Wir machen dazu

8 ) Das gilt auch, wenn man bei der Bestimmung von M von dem in bezugauf x reziproken Polynom ausgeht, also g v mit g n _ v vertauscht, für v = 0, 1, ..., n.Das folgt daraus, daß ein Polynom dann und nur dann in P zerfällt, wenn das rezi-proke Polynom in P zerfällt.

°) Auf diese Bedingung für die Exponenten wurde hingewiesen von E. Noether:Ein algebraisches Kriterium für absolute Irreduzibilität, Math. Annalen 85.

10 ) Unter dem Grade von F verstehen wir die höchste der Exponentensummender Potenzprodukte von F.

Zweiter Teil:Der allgemeine Fall.