Hilbertscher IrreduzibilitätsBatz.

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die Substitution x u = £ d . Dabei geht F(x lt .x m , t) in ein PolynomF(£, t ) über. Von diesem wissen wir dann das Folgende: Aufgefaßt alsPolynom von £ zerfällt es — bei variablem t — nicht derart in demKörper, der durch Adjunktion der Variablen t zu P entsteht, in zweiFaktoren, daß diese nur induzierte Exponenten enthalten. Soll nun aberfür die ganze rationale Zahl t das Polynom F{x ± , ..., x m , t) in P zer-fallen, also F(i, t°) in P in zwei Faktoren zerfallen, die nur induzierteExponenten enthalten, so muß für diesen Wert t° — wie man sichwiederum analog den Ausführungen von Z. H. I. leicht überlegt — entwedermindestens eine von gewissen Funktionen cp (t), welche die im ersten Teilangegebene Gestalt haben, einen rationalen — und wenn man, wie wirwieder annehmen, F($,t) durch die in Z. H. I. angegebene Transformationals Polynom von £ normiert hat — einen ganzen rationalen Wert an-nehmen oder mindestens eine von gewissen Funktionen cp (i) derselbenGestalt, welche aber nunmehr sich auch auf Polynome von t mit rationalenKoeffizienten reduzieren können, verschwinden. Das Letztere tritt nur fürendlich viele ganze rationale Zahlen t ein. Daher ist wiederum nur dieerste Bedingung wesentlich. Daher gilt, wie im ersten Teil, für die Folgeder positiven ganzen rationalen Zahlen t°, für die F(x 1 , ..., x m , t°) in Pzerfällt, wiederum die Ungleichung (I).

Haben wir es nun mit Polynomen F(x 1 , ..x m , t 1} ..t s ) zu tun,welche also auch von beliebig vielen Parametern abhängen, so gehen wirschrittweise vor. Wir fassen zunächst allein t s als Parameter auf, alsox 1 , ..., i s _ x sämtlich als Variable. Dann denken wir uns hierin die ganzenrationalen Zahlen i s ° bestimmt, für die F(x 1 , ..., x m , t lt ..t s - 1 , t° ) in Pirreduzibel ist. Für jede feste der so bestimmten Zahlen t¡ fassen wirdann t s _ 1 allein als Parameter auf und schreiten so fort, bis wir dieSysteme ..., t s erhalten, für welche F{x 1 , ..., x m , t°, ..., t° ) in Pirreduzibel ist. Dabei erhalten wir den folgenden Satz: Eine Menge vonganzen rationalen positiven Zahlen < < 9 < t 3 < ... heiße „ dicht in bezugauf die 'positive Zahl u ", wenn für sie die Ungleichung (I) nicht besteht,wenn also erfüllt ist:

(VI) Hm ^>0.

o cl — a

£->■00 O

Man habe nun eine in bezug auf die positive Zahl a dichte Menge vonZahlen t v Jede dieser Zahlen verbinde man mit Zahlen zu Systemenvon je zwei Zahlen, und zwar soll jedes t 1 mit einer — für die ver-schiedenen t 1 nicht notwendig übereinstimmenden — in bezug auf a 2dichten Menge von Zahlen t 2 verbunden werden. Jedes dieser Paare ver-binde man mit einer — für die verschiedenen Paare nicht notwendig