Zur Niillstellentlieorie der Polynomideale.
Von
B. L. van der Waerden in Amsterdam.
Die exakte Begründung der Theorie der algebraischen Mannigfaltig-keiten in w-dimensionalen Räumen kann nur mit den Hilfsmitteln derIdealtheorie geschehen, weil schon die Definition einer algebraischen Mannig-faltigkeit unmittelbar auf Polynomideale führt. Eine Mannigfaltigkeit heißtja algebraisch, wenn sie durch algebraische Gleichungen in den n Koordi-naten bestimmt wird, und die linken Seiten aller Gleichungen, die ausdiesen Gleichungen folgen, bilden ein Polynomideal (Def. § 1, 4).
Diese Begründung kann nun einfacher gestaltet werden als es bishergeschehen ist 1 ), nämlich ohne Hilfe der Eliminationstheorie, ausschließlichauf dem Boden der Körpertheorie 2 ) und der allgemeinen Idealtheorie inBingbereichen 3 ). Das zu zeigen ist das erste Ziel dieser Arbeit 4 ). DieEliminationstheorie hat in diesem Schema nur die Aufgabe, zu unter-suchen, wie man (bei gegebener Idealbasis) in endlichvielen Schritten
x ) Kroneoker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen.Journ. f. Math. 92 (1882), S. 1 — 122; J. König, Einleitung in die Theorie deralgebraischen Größen (Leipzig 1903); F. S. Maoaulay, Modular Systems (CambridgeTracts 19 (1916)) und die dort angegebene Literatur; K. Hentzelt, Zur Theorie derPolynomideale und Resultanten (bearbeitet von E. Noether), Math. Ann. 88 (1922),S. 53 — 79; E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann. 90(1923), S. 229-261.
a ) E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journ. f. Math. 137 (1910),S. 167-309.
3 ) E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), S. 24 — 66.
4 ) Wie Frl. Noether mir mitteilte, hat sie in ihren Vorlesungen Winter 1923/24und Sommer 1924 schon im wesentlichen mit den gleichen Methoden die Theorieaufgebaut. Einem Vorlesungsheft aus dieser Zeit verdanke ich eine Anzahl Ver-besserungen der Darstellung. Auch schulde ich Fräulein Noether Dank für viele nütz-liche Ratschläge bei der Abfassung der vorliegenden Arbeit.