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B. L. van der Waerden.

die Nullstellenmannigfaltigkeiten eines Ideals und die Basis der zugehörigenPrimideale und Primärideale finden kann 5 ).

Das arithmetische Problem, dessen Diskussion die Lösung unserer geo-metrischen Probleme ergeben wird, lautet folgendermaßen. Sei P einKörper, Q ein Erweiterungskörper, der durch die Adjunktion endlichvielerElemente (unter denen sich überflüssige befinden dürfen, ja

sogar Größen aus P) erzeugt wird. Läßt sich der Körper ü durchalgebraische Relationen zwischen den charakterisieren? Wir werden zudem Zweck die Gesamtheit der Polynome f(x 1 , ...,x n ) mit Koeffizienten

aus P, für welche £„) = 0 ist, betrachten. Diese Gesamtheit ist,

wie sich leicht zeigt, ein Primideal (Def. § 1, 12) im Polynombereich,und die Struktur des Körpers Q ist durch das Primideal nach einerformalen Regel (§3,2) eindeutig bestimmt. Umgekehrt läßt sich zu jedemvom Einheitsideal verschiedenen Primideal mittels dieser formalen Regelein Körper Q mit den oben angegebenen Eigenschaften bilden. DieseReziprozität liefert die Eigenschaften der Primideale als einfache Folgenbekannter Körpereigenschaften (§3).

Diese arithmetischen Betrachtungen ergeben „geometrische" Tatsachen,wenn unter „Punkt" verstanden wird ein System von n Elementen ausdem Körper P, der dann als algebraisch-abgeschlossener Körper voraus-gesetzt wird (etwa der Körper der komplexen Zahlen). Diejenigen Punkte,welche Nullstellen für alle Polynome des Primideals sind, bilden eineirreduzible algebraische Mannigfaltigkeit. Die Körperelemente f ls ...,f n ,als algebraische Funktionen einer Anzahl unabhängiger Elemente auf-gefaßt, ergeben eine „Parameterdarstellung" der Mannigfaltigkeit. Durchdiese doppelte Erzeugungsweise ergeben sich ohne Schwierigkeit die (be-kannten) Eigenschaften der irreduziblen Mannigfaltigkeiten (§4).

In § 5 wird der Zerlegungssatz der allgemeinen Idealtheorie heran-gezogen, mit dessen Hilfe auch die Nullstellen der Nichtprimideale derUntersuchung zugänglich werden. Es ergibt sich ohne weiteres die Zer-legung einer beliebigen algebraischen Mannigfaltigkeit in irreduzible; weiterder Dimensionsbegriff für beliebige Ideale und seine Eigenschaften, endlichder Hilbertsche Nullstellensatz und ein neuer Satz über Ideale von w-Di-mensionen.

Sodann (§6) gestatten die entwickelten Methoden einen neuen Beweiseiner von K. Hentzelt 8 ) gefundenen w-dimensionalen Verallgemeinerungdes M. Noetherschen „Fundamentalsatzes der Theorie der algebraischen

5 ) Grete Hermann, Die Frage der endlichvielen Schritte in der Theorie der

Polynomideale, Math. Ann. 95 (1926), S. 736.

°) K. Hentzelts Dissertation ist nicht gedruckt. Sein Beweis findet sich aber

bei Grete Hermann, a. a. 0.