Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Funktionen". Der Beweis ist bedeutend einfacher als der Hentzeltsche,dafür aber nicht konstruktiv im Sinne der endlichvielen Schritte.

Die größere Einfachheit und zugleich größere Allgemeinheit der vor-liegenden, stark an E. Noether (Math. Ann. 90, s. o.) anlehnenden Theoriegegenüber den älteren Theorien konnte nur erreicht werden durch äußersteArithmetisierung aller Begriffe und Operationen.

Ich konnte dabei anschließen an die Körpertheorie und an die allgemeineIdealtheorie, die in völlig arithmetisierter Gestalt schon vorliegen in denoben erwähnten Arbeiten von E. Steinitz und E. Noether (Math. Ann. 83),und deren Grundbegriffe und Sätze, soweit sie hier nötig sind, in den§§ 1, 2 zusammengestellt sind. Nur ein Hilfssatz aus der Körpertheorie(§ 2, 7), der von E. Noether in ihrer erwähnten Wintervorlesung gebrachtwurde, ist noch nicht publiziert; mit wesentlichen Vereinfachungen wirdhier der Noethersche Beweis wiedergegeben werden.

1. Ein Ring ist eine Menge von Elementen a, b, für welche einereflexive, symmetrische und transitive Gleichheitsrelation definiert ist, fernereine Addition, die eindeutig (im Sinne der Gleichheitsrelation), kommuta-tiv, assoziativ und eindeutig umkehrbar ist, und eine eindeutige, assozia-tive und gegenüber der Addition distributive Multiplikation. Es folgt,daß ein Element 0 existiert, so daß a + 0 = a; weiter folgt a-0 = 0;0-ffl = 0. Der Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation es ist.Der Ring hat keine Nullteiler, wenn aus ab = 0 und a= j= 0 folgt 6 = 0.

Sind diese beiden Eigenschaften erfüllt für einen Ring R, der einvon Null verschiedenes Element enthält, und hat außerdem die Gleichungax — b für a 4= 0 immer eine Lösung (und, da keine Nullteiler vorhandensind, auch höchstens eine Lösung), so heißt der Ring ein Körper. EinKörper enthält immer ein Einheitselement, das mit e bezeichnet werdensoll, mit der Eigenschaft e-a = a.

2, Aus einem kommutativen Ring R bildet man einen Polynom-bereich oder Polynomring R\x 1 , ..x n ], indem man die Polynome

f(x 1 ,...,x n ) = 2a Vl Pn x?'... Xn" als Elemente einführt (wo über end-

lichviele verschiedene Indizeskombinationen summiert wird, und wo die

a Pl Pn Ringelemente sind), und für sie Addition und Multiplikation in

der üblichen Weise definiert. Zwei Polynome heißen gleich, wenn die gleich-namigen Koeffizienten gleich sind. Ist f(x 1 ,...,x n ) = )= 0, und hat derKoeffizientenring R unendlich viele Elemente und keine Nullteiler, so istes immer möglich, den „ Unbestimmten" x 1 , —, x n spezielle Werte a 1 ,..., a naus R zu geben, so daß f(a 1 ,...,a n )=^0.

Mathematische Annalen. 96. 13

§ 1-

Ringe und Ideale.