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B. L. van der Waerden.

3. Aus einem kommutativen Ring R ohne Nullteiler bildet man denQuotientenkörper, indem man die Quotienten ~ (wo b 4= 0) rein formalals Elementenpaare definiert und dem Ring adjungiert. Gleichheit, Summeund Produkt werden definiert durch:

= -r, wenn ad = bc

a , c acl+b c

~b~T~d~ bdT~

= c, wenn a = bc

a cb d

a cbd

a , a+b c

b + C = —

a ac

b C b

Man zeigt leicht die Körpereigenschaften.

4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring R ist «ine Untermengevon R derart, daß mit a und b immer a — b (und folglich auch 0,-6und a + b), und mit a immer ra in der Untermenge enthalten sind, wor ein beliebiges Ringelement ist. Aus einer beliebigen Untermenge vonR wird ein Ideal erzeugt, nämlich die Gesamtheit der Elemente die ent-stehen, indem man die Elemente der Untermenge zunächst mit beliebigenRingelementen multipliziert, sodann die Elemente selbst und ihre Viel-fachen in allen möglichen Weisen addiert und subtrahiert. Hat ein Ideal üendlichviele Erzeugende a 1 ,...,a r , so bilden diese eine Basis, und manschreibt a = (a x , ..., a r ).

5. Ist R insbesondere ein Polynombereich mit Koeffizienten aus einemKörper, so gilt der Hilbertsche Basissatz: Jedes Ideal hat eine Basis"').

6. Man nennt zwei Ringelemente a, b kongruent nach einem Ideal c,und schreibt:

a = b mod c

oder kurz

a = b{ c),

wenn die Differenz a — b dem Ideal angehört.

7. Sind die Glieder zweier Summen kongruent nach einem festenIdeal n, so sind die Summen es auch, und das gleiche gilt für Produkte.Weiter ist die Kongruenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv. Faßtman also die Kongruenz als eine neue Gleichheitsdefinition in R auf, sobilden die Ringelemente gegenüber der neuen Gleichheitsdefinition wiedereinen Ring, der der Restklassenring nach dem Ideal a (in Zeichen R\a)genannt wird.

') D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890),S. 473 — 534. Die beiden Beweise, die Hilbert gibt, der erste für den Fall, daß derKoeffizientenbereich ein Zahlkörper ist, der zweite für den Fall von ganzzahligenKoeffizienten, gelten allgemeiner, nämlich der erste für jeden Körper mit unendlichvielen Elementen, der zweite u. a. für jeden Körper als Koeffizientenbereich.