Nullstellentheorie der Polynomideale.

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8. Ist 6ea 8 ), so ist b = 0 (a), und umgekehrt. Ist ein Ideal £>Untermenge von a, so schreibt man b = 0 (a), und nennt a einen Teilervon i), b ein Vielfaches von a.

9. Die Summe oder der größte gemeinsame Teiler ( a , b ) zweier Idealea, b ist das Ideal aller Summen a + b, wo asa, bei). Ist a = (a 1 ,...,o s ),& = (&!, b s ), so ist (a, b) = (a 1 , a r , b 13 ..., b s ).

10. Das Produkt zweier Ideale ist das von allen Produkten ab, woaea,beb, erzeugte Ideal. Die Multiplikation von Idealen ist kommutativund assoziativ. Was eine Potenz eines Ideals ist, ist demnach klar. Ista = (a i; ..., a r ), b = (6 1> ..., b s ), so ist ab = (a 1 \, a 1 b i , ..., a,.b s ).

11. Der mengentheoretische Durchschnitt [a, b] zweier Ideale wirdauch ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ( K. G. V. ) genannt.

12. Ein Ideal p heißt prim, wenn es aus aö = 0(p) und a^O(p)folgt b = 0 (p). Ist p prim, so hat der Restklassenring R/p keine Null-teiler. Sein Quotientenkörper heißt der Restklassenkörper von p.

13. Ein Ideal q heißt primär, wenn aus aö = 0(q) und: keine Potenzvon a ist = 0(q), folgt &=0(q). Zu jedem Primärideal q gehört einPrimideal p, nämlich die Gesamtheit aller Ringelemente, von denen einePotenz in q vorkommt. Offenbar ist q = 0 (p). Ist a b = 0 (q) und a^O (jj),so folgt 6 = 0 (q). Hat insbesondere eine Basis, so gibt es eine kleinsteZahl q , der Exponent von q, so daß pe = 0 (q).

14. Ein Körper heißt von der Charakteristik p, wenn p die kleinstenatürliche Zahl ist, für die pe = 0 8a ), wo e die Einheit ist, und von derCharakteristik Null, wenn eine solche Zahl nicht existiert. Im ersten Fallist p eine Primzahl.

§2.

Einige Sätze aus der Körpertheorie.

1. Zwei Körper Q, Q' heißen isomorph, wenn eine eineindeutige Zu-ordnung ihrer Elemente existiert, so daß Summe oder Produkt in Q wiederin Summe oder Produkt in ü' übergehen. Die Zuordnung selbst heißtIsomorphismus. Ist Q'=Q, so hat man einen Automorphismus von Qvor sich.

2. Hat ein Körper Q einen Unterkörper P, so heißt Q eine Erweite-rung von P. Die Erweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Elementvon _Q einer algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus P genügt;sonst transzendent. Die algebraische Gleichung läßt sich immer durcheine in P irreduzible ersetzen. Sind alle Elemente von Q rational durch

8 ) s heißt: ist Element von.

8a ) Das Symbol ps ist dabei wie üblich definiert durch die Rekursionsformeln

1 - £ = e ; (» -f 1 ) e = ne + e.

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