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B. L. van der Waerden.

cc 1 , ...,ß n mit Koeffizienten aus P ausdrückbar, so schreibt manfi= P(« 1S

3. Es ist möglich, eine algebraische Erweiterung P (a) eines Körpers Prein formal zu konstruieren, wenn die irreduzible Gleichung f(z)=0gegeben ist, der das zu adjungierende Element a genügen soll. DerKörper P (ß) muß nämlich immer isomorph dem Restklassenring desPolynombereichs P [z] nach dem Ideal (f(z)) sein, und das genügt um ihnformal zu bestimmen. Bezeichnet man mit P[ß] den Ring aller Elementevon P(«), die sich als Polynome in a mit Koeffizienten aus P schreibenlassen, so folgt aus der genannten Isomorphie P[a] = P(a). Durch In-duktion folgt, wenn P(ß, ß, .d) eine algebraische Erweiterung von P ist,

P [a, ß,.. ., <5] = P(a, ß, ..., d).

4. Man kann durch fortgesetzte algebraische Erweiterung einesbeliebigen Körpers P immer zu einem algebraisch-abgeschlossenen Körper Qübergehen, d. h. zu einem solchen, in dem jedes Polynom f(z) einerUnbestimmten z in Linearfaktoren zerfällt"). Q ist bis auf Isomorphieeindeutig bestimmt.

5. Zwei Elemente '«, ß einer algebraischen Erweiterung eines Körpers Pheißen konjugiert in bezug auf P, wenn es einen Automorphismus desalgebraisch-abgeschlossenen Umfassungskörpers gibt, der P elementweiseinvariant läßt, und a in ß überführt. Dazu ist hinreichend, daß es einenIsomorphismus der beiden Unterkörper P(«) und P(ß) gibt, der P ele-mentweise invariant läßt, und a in ß überführt. Alle Wurzeln einer in Pirreduziblen Gleichung f{z) = 0 sind konjugiert. Ist f(z) ein Polynomaus P[z], und sind a und ß konjugiert, so folgt aus f(a) = 0 auch f[ß) = 0.

6. Eine rein transzendente Erweiterung P(fj, ..., f„) eines Körpers Pkommt zustande, indem man den Quotientenkörper des PolynomringsP [£i, ..., f„] bildet. Seine Elemente heißen rationale Funktionen von

, ..., f n . 10 ) Algebraische Funktionen sind die Elemente einer algebra-ischen Erweiterung ü von P(f 19 ..£ n ).

Daß man hier wirklich von (mehrdeutigen) Funktionen reden kann,deren Existenzgebiet eine Untermenge der Menge aller Systeme von nElementen des algebraisch-abgeschlossenen Erweiterungskörpers r von Pist, ergibt die folgende Betrachtung, die wir sogleich für ein System vonFunktionen r¡ l , ..., r¡ m anstellen.

°) Dieser Steinitzsche Satz leistet für die Algebra das gleiche wie der „Funda-mentalsatz der Algebra", der nicht der Algebra, sondern der Analysis angehört. DerBeweis setzt den Zermeloschen Wohlordnungssatz voraus.

10 ) Allgemeiner kann man eine beliebige (endliche oder unendliche) Menge vonUnbestimmten adjungieren, indem man aus dem Ring der Polynome in beliebig vielendieser Unbestimmten den Quotientenkörper bildet.