Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Wir adjungieren sukzessive die Größen i) 1 , ..., r¡ m aus ü dem KörperP(| 1 , . Die jeweils irreduzible Gleichung für r¡ k mit Koeffizienten

aus P(f 1 , r¡i> Vic-i) laute:

(1) K(Vk) = e Vk" + « k,i + • • • + ßfc.ei = 0.

Die Koeffizienten a k i kann man schreiben als Quotienten von Poly-nomen in |j, ..| n , r¡ t , ..., a.î sogar kann man voraussetzen, daß dieNenner nur | n enthalten (3). Diejenigen Elementsysteme Ii, ..

aus F, für welche das Produkt sämtlicher Nennerpolynome von 0 ver-schieden ist, heißen reguläre Argumentwerte für das Funktionensystemr¡ 1 , ..., r¡ m . Da j T , als algebraisch-abgeschlossener Körper, unendlich vieleElemente enthält, so gibt es immer reguläre Argumentwerte (§ 1, 2).Jedes Elementsystem r¡í, .. r¡' m , das sich aus den Gleichungen (1) fürreguläre Argumentwerte ergibt, heißt ein zugehöriges Funktionswertsystem.7. Mit den Bezeichnungen der vorigen Nummer gilt der Satz:1st f ein Polynom aus P[» 19 ..., x n , y 1 , ..., y m ], und istf{£ i> •• '?!>•••) Vm ) = 0 , SO ist Vl> • • •> Vm) = 0

für alle regulären Argumentwerte Ii, ..., in und zugehörigen Funktions-werten i][, ..., und umgekehrt.

Beweis. Der erste Teil des Satzes ergibt sich durch vollständigeInduktion, indem wir ihn als bewiesen annehmen für Polynome ausP [x 1} ...,x n , y 1 , ..., y k _ J, und beweisen für Polynome aus

P [a?i,..., x n , y 1 , ..., y lc ].

Für Polynome aus P [a: x , ...,x n ] ist der Satz trivial.

Es habe h k {rj k ) die Bedeutung (1). Dann ist die Voraussetzung

f (£i> Vi> = °

nach 3. äquivalent mit

f(Ç lt ...,è n , r¡ lt a) = 0 (h k (z)).

Diese Gleichung besagt, daß die Division der linken Seite durch h k (z)ohne Rest aufgeht. Nun sind die Koeffizienten von h k (z) Quotienten vonPolynomen in t] lt .. ., r¡ k _ 1 , wo die Nenner nur

enthalten, und für alle regulären Argumentwerte Ii, ..., |« von Null ver-schieden sind. Außerdem ist der erste Koeffizient die Einheit e. Führtman die Division wirklich aus, so kommen im Nenner des Quotientenniemals andere Polynome vor als die, welche in h k (z) schon im Nennerstanden. Also wird :

f{Í i,...,£„, r¡ z)-a k (z)h k (z) = 0,