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ß. L. van der Waerden.

wo sowohl a k (z ) wie h k (z ) im Nenner nur solche Polynome q{^, ..| n )haben, für die ...,!») +0 ist. Multipliziert man die Gleichung mit

dem Hauptnenner n (f 1} ..f n ) des zweiten Gliedes, so sind die Koeffi-zienten der Potenzen von z Polynome in £ x , ..£ n , rj 1 , ..rj k _ 1 . Da fürdiese nach Voraussetzung der Satz gilt, so darf man spezialisieren& = Ii [i = 1 , . n], r¡j = r¡'j [j = 1, ..., k — 1 ]. Dividiert man schließ-lich durch die von Null verschiedene Größe n(£í, . s0 kommt:

/•(fi, j ?Í, z) — aí(z)h,' : (z) = 0,

wo a A ' und h¡ c aus a k und h k durch die obige Spezialisierung entstanden sind.

Nun waren die Funktionswerte definiert durch die Gleichunghi ( vi) — 0, folglich ist

/"(&, • • -, f«, vi' ■ • Vk -1, Vk) = 0, q. e. d.

Um den zweiten Teil zu beweisen, nehmen wir an, es wäre/"(fi, ..., in, r¡[, .. r¡' m ) = 0 für alle regulären Argumentwertsysteme, unddennoch i) 1 ,..rj m ) =j= 0. Setzen wir dann

F.

» • • • > £n t Vi > • • • t Vitt )

so können wir £i, .... ç n als reguläres Argumentwertsystem der Funktioneni¡ 1 , ..., rj m , i) bestimmen. Diese Argumentwerte sind dann sicher fürVi> •••» Vm re gulär. Aus

f{£i» Oí -« = °

folgt nach dem ersten Teil des Satzes

/"(ÍÍ, > yl Vm )v'~ s = 0

entgegen der Voraussetzung f(&, .. ., £' n , v [, ..., j^) = 0.

8. Sei Q ein Erweiterungskörper von P. Eine Teilmenge U von Qheißt irreduzibel in bezug auf P, wenn eine Gleichung f(£ 1 ,...,Ç n ) = 0zwischen endlichvielen Elementen von U mit Koeffizienten aus P nur dannbestehen kann, wenn das Polynom f identisch verschwindet. Die Elementeeines irreduziblen Systems sind also unabhängige transzendente (oder un-abhängige Unbestimmte) in bezug auf P.

Zwei Teilmengen U, V von Q heißen äquivalent, wenn jedes Elementvon U algebraisch in bezug auf P (F), und jedes Element von F algebraischin bezug auf P (?7) ist.

In jedem wohlgeordneten Erweiterungskörper Q eines Körpers P läßtsich ein dem Körper Q äquivalentes irreduzibles System konstruieren.Die Mächtigkeit dieses Systems ist von der gewählten Wohlordnung un-abhängig, und heißt der Transzendenzgrad von Q in bezug auf P. Auchin jedem Teilsystem F gibt es ein zu F äquivalentes irreduzibles System,dessèn Mächtigkeit der Transzendenzgrad von F in bezug auf P heißt.