Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Ist der Transzendenzgrad von Q in bezug auf P endlich und gleich n,so sind alle Elemente von Q algebraische Funktionen von endlich vielenUnbestimmten f ls ...,£ n . Ist er Null, so ist Q algebraisch über P.

§3.

Der Nullstellenkörper eines Primideals 10 a ).

1. Ist Q — P (^, ..., !„) ein Erweiterungskörper eines Körpers P, sobilden die Polynome f aus R = P [x 1} ..x n ], für die f(£ x , •••,£„) = 0,ein Primideal in R.

Beweis. Aus / , (| 1 ,= 0 undgr(|,, .fj = 0 folgt f(^,

- f(fi»

Aus f0 folgt f(| 11 ... ) ij ? (| 1 ,... 1 | n ) = 0.

Also bilden die betrachteten Polynome ein Ideal.

Aus f (| 15 ..g(£ lt ..| n ) = 0 und g (^, ..f B ) 4= 0 folgt/"(fj, ..f n ) = 0, da ein Körper keine Nullteiler hat.

Also ist das Ideal prim.

Beispiel. Seien | 15 .£ n lineare Funktionen einer Unbestimmten Xmit Koeffizienten aus dem Körper P der komplexen Zahlen:

(1) |< = «, + /y.

Dann besteht das gemeinte Primideal aus allen Polynomen /'(^, .. x n ),so daß f(a 1 + ß 1 X, ..cc n + ß n X) identisch in 1 verschwindet, oder (geo-metrisch ausgedrückt) aus allen Polynomen, die verschwinden in allenPunkten der Geraden, welche durch die Parameterdarstellung (1) im n-di-mensionalen Raum bestimmt wird. Dieses Beispiel möge zur Veranschau-lichung aller Sätze dieses und des folgenden Paragraphen dienen.

2. Bedeutet p das unter 1. konstruierte Primideal, so ist Q demRestklassenkörper II von p (§1, 12) isomorph, und zwar so, daß denElementen , ..., £ n die Elemente x x , ..x n entsprechen.

Beweis. Sei Q' der Ring derjenigen Elemente von fi, die als Poly-nome in ,..., | n geschrieben werden können. Q ist, wie man leichtsieht, Quotientenkörper von ß'. Wir ordnen jedem Element !„)

von Q ' das Element f(x x , ...,x n ) des Restklassenrings Rjp zu. Da ausf{£ !>•••> O - •»£„) = o folgt f(x t , ...,x n ) — g{x x ,..., xj=0 (p)

oder f(x x , ..., x n ) = g(x x , ..x n )(p) und umgekehrt, so ist die Zuord-nung eineindeutig. Daß Summe und Produkt in Summe und Produkt über-gehen, ist klar. Also sind die Ringe Q R/p isomorph, Dann müssen auchdie Quotientenkörper Q und II isomorph sein.

i°a) Ygi zu diesem Paragraphen E. Noether, a. a. 0. (Math. Ann. 90).