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B. L. van der Waerden.

3. Zu jedem von R verschiedenen Primideal p in R gibt es einenKörper Q = P(| 1? ..| n ), so daß p besteht aus allen Polynomen f aus R,für die f(Ç lt £j = 0.

Beweis. Den Polynomen aus R ordnen wir Elemente einer neuenMenge R' zu, die den Koeffizientenkörper P umfaßt, wobei zweien nachp kongruenten Polynomen das gleiche Element entsprechen soll, zweieninkongruenten aber verschiedene Elemente, und wobei die Elemente vonP sich selbst entsprechen. Das ist immer möglich, denn zwei Elementevon P sind wegen p =4= R dann und nur dann kongruent nach p, wennsie gleich sind. Die den Elementen x 1 ,...,x n entsprechenden Elementenennen wir f 15 ..., | n .

Die Menge R' ist auf den Restklassenring von R nach p eindeutigabgebildet. Definieren wir in R' also eine Addition und eine Multipli-kation, die der Addition bzw. Multiplikation im Restklassenring ent-sprechen, so ist R' dem Restklassenring isomorph, hat also keine Null-teiler, und gestattet die Bildung eines Quotientenkörpers Q. In Q istf„) = 0 dann und nur dann, wenn f(x 1 , ..., x n ) = 0 (p), q. e. d.

4. Der nach 3 für jedes von R verschiedene Primideal p konstruier-bare, nach 1 auch nur für Primideale existierende, nach 2 bis auf Iso-morphie eindeutig bestimmte Körper Q = P (^, ..£ n ), dessen ErzeugendeÍ¡ die Eigenschaft haben, daß f(£ lt .. ., !„) = 0 dann und nur dann, wenn/■=0(p), heißt Nullstellenkörper von p; das Elementsystem {f 15

heißt allgemeine Nullstelle von p. Unter Nullstelle schlechthin einesIdeals m verstehen wir jedes Elementsystem {r¡ 1 , .. r¡ n } eines Erwei-terungskörpers von P, so daß /"(»7i> •• •>*?„) = 0, wenn f=0 (p). Jedenicht-allgemeine Nullstelle eines Primideals heißt speziell 11 ).

5. Der Transzendenzgrad (§ 2, 8) des Nullstellenkörpers Q in bezugauf P heißt die Dimensionszahl des Primideals p.

6. Sind p, p' Primideale der Dimensionszahlen ¡u, //, und istp' — 0 (p), so ist ^ u, und das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wennP' = P-

Beweis. Seien Q' = P (^, ..., £ n ) und Q' = P (£,..Null-stellenkörper von p bzw. p'. Ist f ein Polynom aus R , so folgt ausf= 0 (p') auch /■= 0 (p), m. a. W. aus f (li,..., |¿)= 0 folgt f(^,.f B )= 0.

Sei nun, evtl. nach Umnennung der Indizes, £ lf ..^ ein mit Qäqui valentes irreduzibles System (§ 2, 8). Dann muß auch fi, ..., einirreduzibles System in Q' sein, denn jede algebraische Relation zwischen

11 ) Dieser Sprachgebrauch deckt sich, wie wir im § 4 sehen werden, mit der inder Geometrie üblichen Redeweise von allgemeinen und speziellen Punkten eineralgebraischen Mannigfaltigkeit.