Nullstellentheorie der Polynomitleale.

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Ij, ..., l'j würde die gleiche Relation zwischen Ii, ..£ f , nach sich ziehen.Daraus folgt die erste Behauptung: Ist aber /.i' = [i, so ist Í2'

algebraisch über P (fi, ..Wir behaupten: aus f(£ lt .. f n ) = 0folgt Çn) = 0. Wäre nämlich f(%[, ..., £„') 4= 0, so könnten wir

nach §2,3 das Element — r - < — in der folgenden speziellen Form

f (fl, • • -, ?»)

schreiben :

« g (£Í, • • £»)

Daraus folgt:und weiter:

..., = gf(| 15 !„).

Da das Polynom h nicht identisch verschwinden kann (es standvorhin im Nenner!) und da | 1; f,, ein irreduzibles System bilden, soist die linke Seite dieser Gleichung +0, also muß f(i lt • • -, l„) =H 0,entgegen der Voraussetzung. Also in der Tat: aus folgt

f(Ç — Oder: aus f=0 (p) folgt f = 0 (p'). Das heißt p = 0 (p'),

mithin p = p'.

7. 1st ein Ideal p' der Dimensionszahl /i' gegeben, so hat jede Null-stelle einen Transzendenzgrad ^ fi','und wenn der Transzendenzgrad genaufi' ist, so ist die Nullstelle allgemein.

Beweis. Jede Nullstelle von p' bestimmt nach 1 ein Ideal p;wenden wir auf p und p' den obigen Satz (6) an, so folgt die Behauptungunmittelbar.

Folge. Ist p' ein nulldimensionales Primideal, so ist jede Nullstellealgebraisch und allgemein.

8. Jedes ¡i-dimensionale Primideal hat einen (ju — 1 )- dimensionalenPrimteiler.

Beweis. Sei p das gegebene Ideal, Q = P (| 15 ..., f n ) sein Nullstellen-körper, £ lt ...,£ /t ein zu Û äquivalentes irreduzibles System, also üalgebraisch über P(| 1; ...,£ it ).

sind als algebraische Funktionen von aufzufassen,wenn der Körper P(£ 1; ..., als Grundkörper angenommen wird. Also

gibt es in einem algebraischen Erweiterungskörper P von P (^, .. ¿>-i)(mindestens) einen regulären Argumentwert |, t ; ein System zugehörigerFunktionswerte sei |' l+1 ,..., Das Elementsystem f u -i, f /t ,..., f n }

von r hat in bezug auf P den Transzendenzgrad ¡ li — 1; das aus ihmnach 1 konstruierbare Primideal p x hat also die Dimensionszahl ju — 1.Aus f=0 (p) folgt f (£ lf ...,| n ) = 0, also(§l,7):/'(| 1 ,...,| iU _i,^,..., I«) = 0,also f=0 (p x ). Mithin ist p = 0(pj). Damit ist der Satz bewiesen.