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B. L. van der Waerden.

In Verbindung mit 6 folgt: Die Dimensionszahl eines Primideals pist zwei weniger als die maximale Gliederzahl einer von p ausgehendenPrimteilerkette

13» Pi, •••,&<> R- 12 )

9. Sei p ein Primideal der Dimensionszahl ¡i, und seien die Un-bestimmten x 1} ■■■,x n so numeriert, daß im Nullstellenkörper

die Größen , ..., ein irreduzibles System bilden. Sei Q ein algebraisch-abgeschlossener Erweiterungskörper von P (£ 1( ..£ n ).

Dann bilden die mit {fx »•••»£„} in bezug auf P (£ i; .. i fl ) kon-jugierten Elementsysteme {^, ..| /t , i ß+1 , ..., £„} genau diejenigen Null-stellen von p in Q, deren erste fi Bestimmungszahlen die Werte i 1} i uhaben.

Beweis. Daß die Elementsysteme Nullstellen bilden, ist klar, dennaus /•(£ in) = 0 folgt f(i 1 ,...,i fi ,i' u+1 ,...,in) = 0, wenn f einPolynom mit Koeffizienten aus P ist (§ 2, 5). Andererseits aber hat jedeNullstelle ... i ßt ... r¡ n } in Q einen Transzendenzgrad ju, istalso allgemeine Nullstelle (7); also gibt es immer einen Isomorphismusvon P(f a ...£„) und P (f x . .. £ fl , r¡ M+1 ... r¡ n ), der P (fj... i¿) elementweiseinvariant läßt, und i ll+1 ...i n in r¡ fl+í ...r¡ n überführt (2), woraus dieKonjugiertheit von r¡ fl+l ...r¡ n mit |^ +1 ... f„ folgt (§2,5).

10. Folge: Ist p ein Ideal der Dimensionszahl 0, so sind alle(endlichvielen) Nullstellen im algebraisch-abgeschlossenen Erweiterungs-körper Q von P konjugiert in bezug auf P . Ist insbesondere P algebraisch-abgeschlossen, so gibt es demnach nur eine Nullstelle {^. ••!„}, wo diei i Elemente von P sind; das Ideal p besteht in diesem Falle aus allenPolynomen, die an dieser Stelle verschwinden, hat mithin die Basis:

te ,x n -i n ).

11. Zum Schlüsse sei bemerkt, daß ein Teil der Begriffe und Sätzedieses Paragraphen ihre Geltung beibehalten für Primideale in einem be-liebigen kommutativen Ring R, der einen Körper P umfaßt, und der ausP durch Ringadjunktion von endlichvielen Elementen x 1 ,...,x n entsteht,wobei aber diese Elemente noch durch Gleichungen verknüpft sein können.Alle Elemente des Rings sind dann als Polynome in x x , ..., x n zu schreiben,aber nicht eindeutig, und damit versagt die Konstruktion 1. Die um-gekehrte Konstruktion 3, die jedem Primideal einen Nullstellenkörper(dem Restklassenkörper isomorph) zuordnete, bleibt aber möglich, unddamit wird der Dimensionsbegriff definierbar als Transzendenzgrad des

12 ) Für den Fall, daß P unendlich viele Elemente besitzt, ist dieser Satz vonE. Noether bewiesen worden (Math. Ann. 90, S. 250).