Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Nullstellenkörpers. Es gilt weiter Satz 6 samt dessen Beweis 12 "). Nimmt mannoch allgemeiner an, daß der kommutative Ring R durch Ringadjunktioneiner beliebigen Menge zu P entsteht, so wird die Dimensionszahl einesPrimideals eine Mächtigkeit. Die erste Hälfte von Satz 6 bleibt samtihrem Beweis uneingeschränkt bestehen, die zweite Hälfte aber gilt nurfür Ideale endlicher Dimensionszahl.

§4.

Die Mannigfaltigkeit eines Primideals.

1. Unter dem (offenen, oder cartesischen) Raum C n (P) soll ver-standen werden die Gesamtheit der geordneten Systeme von n Elementen^, ..., f n eines algebraisch-abgeschlossenen Körpers P 13 ). Die Elementedes Raumes heißen Punkte, ihre Bestimmungszahlen Koordinaten.

2. Es genügt nun aber für die algebraische Geometrie nicht, sich aufdie Betrachtung der Punkte in diesem Sinne zu beschränken, sondern eswerden immer noch „unbestimmte Punkte" betrachtet, d. h. Punkte, derenKoordinaten entweder unabhängige Unbestimmte sind, oder doch algebraischeFunktionen von Parametern, d. h. Elemente eines transzendenten Er-weiterungskörpers Û von P. Ein Elementsystem {l^, •••,£„} eines solchenKörpers Q (oder ein Punkt des Raumes C n ( Ü )) soll p-fach unbestimmterPunkt in C„(P) heißen, wenn es den Transzendenzgrad p in bezug aufP hat, d. h. wenn der Punkt von p unabhängigen Parametern, aber nichtvon weniger, algebraisch abhängt. Die in § 3 betrachteten „Nullstellenvom Transzendenzgrad p" waren solche p-fach unbestimmte Punkte.

3. Eine algebraische Mannigfaltigkeit M in C M (P) ist die Mengealler Nullstellen in O n (P) eines Ideals m im Polynombereich P [x t , .... x n ],vorausgesetzt, daß diese Menge nicht leer ist.

Verschiedene Ideale können die gleiche Mannigfaltigkeit definieren.Beispiel: Die drei Ideale p = (a;, y ); q = (a; 2 , y), x — (x 2 , xy, y", xz, yz)in P [x,y,z] definieren alle drei die Gerade £ = = 0 in C 3 (P). Beiden Polynomen von q verschwindet in den Punkten dieser Geraden nichtnur das Polynom selbst, sondern auch die Ableitung nach x\ bei denen

12tt ) Zusatz bei der Korrektur. Es gibt Ringe dieser Art, in denen Satz 8nicht gilt. Also läßt sich die Dimensionszahl eines Primideals nicht allgemein durchPrimteilerketten charakterisieren.

la ) Diese Definition hält sich an die in der algebraischen Geometrie vorwaltendeRichtung, die zum Raum immer die komplexen Punkte hinzunimmt. Unsere Définition umfaßt aber noch ganz andere Räume als den der gewöhnlichen Geometrie,z. ß. solche, in denen der vierte harmonische Punkt immer mit dem dritten zu-sammenfällt. Man erhält einen solchen Raum nämlich, indem man für P einensolchen Körper nimmt, in dem e + £ = 0 ist (Körper von der Charakteristik 2).