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B. L. van der Waerden.

von r verschwinden in einem Punkt der Geraden, nämlich im Punkt{0,0,0}, alle Ableitungen.

4. Ohne weiteres klar sind die folgenden beiden Sätze:

Die Mannigfaltigkeit eines K.G.V. von Idealen [tn is ..., m,.] ist dieVereinigungsmenge der Mannigfaltigkeiten der Komponenten.

Die Mannigfaltigkeit einer Idealsumme (rrtj, ..., nt r ) ist der Durch-schnitt der Mannigfaltigkeiten der Summanden.

5. Definition. Ein Polynom f enthält eine Mannigfaltigkeit M,wenn f verschwindet in allen Punkten von M.

6. Sei nun eine Mannigfaltigkeit M gegeben durch ein Ideal m. Inder Gesamtheit der Ideale, welche die gleiche Mannigfaltigkeit definieren(s. obiges Beispiel), ist ein Ideal ausgezeichnet, nämlich die Gesamtheitaller Polynome, welche die Mannigfaltigkeit enthalten. Daß diese Gesamt-heit ein Ideal ist, ist klar; daß sie in allen Punkten von M, und nur indiesen, Nullstellen hat, ist ebenfalls klar. Wir wollen dieses Ideal das zuM gehörige Ideal nennen.

7. Eine Mannigfaltigkeit heißt irreduzibel, wenn das zugehörige Idealprim ist, d. h. wenn aus „fg enthält M " und „f enthält M nicht" folgt„g enthält M". Die Dimensionszahl einer irreduziblen Mannigfaltigkeitist die Dimensionszahl des zugehörigen Primideals 13 a ).

8. Ist M irreduzibel, und sind M lt M 2 beliebige Mannigfaltigkeiten,deren Vereinigungsmenge M enthält, ohne daß M 1 M enthält, so muß M 2M enthalten.

Denn gesetzt, weder M 1 noch M„ würden M enthalten, so würde dasheißen, daß in den Idealen ntj, lît 2 , die M x und M ä definieren, Polynomef x ,f % vorhanden sein würden, die M nicht enthielten. Das Produkt f\ f„aber würde sowohl M 1 wie M 2 , also auch M enthalten. Das widersprichtder vorausgesetzten Irreduzibilität von M.

9. Sei eine Mannigfaltigkeit M gegeben, und sei m das zugehörigeIdeal. Die transzendenten Nullstellen des Ideals, also diejenigen Null-stellen, deren Koordinaten von Parametern algebraisch abhängen, werdenals unbestimmte Punkte der Mannigfaltigkeit bezeichnet, weil sie zwarnicht der Mannigfaltigkeit angehören, aber doch allen algebraischen Glei-chungen genügen, die in C n (P) die Mannigfaltigkeit definieren, und weilsie, wenn man die Parameter, von denen sie abhängen, regulär spezialisiert

13a ) Zusatz bei der Korrektur. Ist eine Mannigfaltigkeit M in diesem Sinneirreduzibel, so ist sie nach S in der Tat unzerlegbar, d. h. nicht als Vereinigung vonzwei echten algebraischen Teilmannigfaltigkeiten darstellbar. Wie leicht ersichtlich,gilt auch die Umkehrung.