Nullßtellentheorie der Polynomideale.

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(§2 ,6), in Punkte von <7 „(P) übergehen, die den nämlichen algebraischenGleichungen genügen (§ 2, 7), mithin der Mannigfaltigkeit angehören.

Ist M irreduzibel, also m prim, so heißt jede allgemeine Nullstelledes Ideals m allgemeiner Punkt der Mannigfaltigkeit M . Diese Bezeich-nung ist in Übereinstimmung mit der in der Geometrie geläufigen Be-deutung der Wörter allgemein und speziell. Man versteht doch meistens,wenn es auch nicht immer deutlich gesagt wird, unter einem allgemeinenPunkt einer Mannigfaltigkeit einen solchen Punkt, der keiner einzigenspeziellen Gleichung genügt, außer denjenigen Gleichungen, die in allenPunkten erfüllt sind. Diese Forderung kann natürlich ein bestimmterPunkt von M niemals erfüllen, und so ist man genötigt, Punkte zu be-trachten, die von hinreichend vielen Parametern abhängen, d. h. in einemRaum C n (Í2) liegen, wo Q eine transzendente Erweiterung von P ist.Fordert man aber von einem Punkt von C„(ß), daß er Nullstelle ist füralle die und nur die Polynome von P[x 1 , ...,x n ], die in allen Punktender Mannigfaltigkeit M verschwinden, so kommt man gerade auf unsereDefinition eines allgemeinen Punktes der Mannigfaltigkeit M.

10. Da nach 7 zu jeder irreduziblen Mannigfaltigkeit ein Primidealgleicher Dimension gehört, so können die Sätze § 3 2, 3, 7, 10 für Prim-ideale unmittelbar auf irreduzible Mannigfaltigkeiten übertragen werden.Das ergibt:

Jede irreduzible Mannigfaltigkeit hat einen allgemeinen Punkt ,..., !„},der von so vielen Parametern abhängt, wie die Dimensionszahl der Mannig-faltigkeit angibt "), und der Körper P (l x , ..., !„) ist dem Restklassenkörperdes zugehörigen Primideals isomorph.

Jeder spezielle Punkt einer ¡u - dimensionalen irreduziblen Mannig-faltigkeit hat einen Transzendenzgrad < /i.

Eine nulldimensionale irreduzible Mannigfaltigkeit besteht aus einemPunkt.

11. Unter der algebraischen Abschließung einer Punktmenge M' in(7 „(P) verstehe ich die Menge M der gemeinsamen Nullstellen in C n { P)derjenigen Polynome aus R = P [x 1 , ..., x n ], die in allen Punkten von Mverschwinden. Da diese Polynome offenbar ein Ideal bilden, so ist Meine algebraische Mannigfaltigkeit 15 ).

") Diese Eigenschaft zeigt die Ubereinstimmung unseres Dimensionsbegriffs mitdem aus der algebraischen Geometrie geläufigen.

lä ) Ist P der Körper der komplexen Zahlen, so umfaßt (weil jedes Polynom einestetige Funktion darstellt) die algebraische Abschließung die topologische Abschließung.Z. B. hat in der Ebene C n (P) die Menge = 0, | | < 1 die topologische Abschließung¿1 = 0, ¡ ¡ < 1, und die algebraische Abschließung = 0. Die algebraische Ab-schließung kann aber für die Algebra die Stelle der topologischen Abschließung voll-