198

B. L. van der Waerden.

12. Sind in einem algebraischen Erweiterungskörper Q von P(2i,..., A„),wo ..., la als irreduzibles System angenommen ist, n algebraischeFunktionen £ lt ..., von A lt . i fl gegeben, und ist M' die Menge derFunktionswertsysteme {j;[, ■ ■ ■, in} > die zu regulären ArgumentwertenAi, A /t gehören, so ist M' eine Punktmenge in C n (P); wenn nun Mdie algebraische Abschließung von M' ist, so sagen wir, daß M durchdie Funktionen £ n in Parameterdarstellung gegeben ist. Die Para-meterdarstellung ist nur regulär in den Punkten der Teilmenge M' vonM, sie bestimmt aber M eindeutig.

Die algebraische Abschließung von M' wird nach Definition dadurchkonstruiert, daß man das Ideal p aller Polynome bildet, die in allenPunkten von M' verschwinden. Nach § 2, 7 kann man nun aber p auchbestimmen als das Ideal aller Polynome f aus ? [x x , ..x n ], für dief(Ç 1 ,...,£ n ) = 0, oder als dasjenige Primideal, das .••»!„} zur all-gemeinen Nullstelle hat (§3,1). Alle Polynome von p verschwinden inallen Punkten von M, weil M ja die Mannigfaltigkeit von p ist, undwenn umgekehrt ein Polynom verschwindet in allen Punkten von M, soverschwindet es auch in allen Punkten von M', gehört mithin zu p. Alsoist p das zu M gehörige Ideal (3). Damit ist bewiesen:

Jedes System von algebraischen Funktionen S lt S n von 1 1 , ..., l rbestimmt eine Mannigfaltigkeit M in Parameter dar Stellung, und das zuM gehörige Primideal p hat die allgemeine Nullstelle , ..., f , die alsozugleich allgemeiner Punkt der Mannigfaltigkeit ist.

13. Da auch jedes Primideal p eine allgemeine Nullstelle {^, ..., | n }hat, wo die i i algebraische Funktionen von Parametern , ..., l, L sind,so folgt:

' Jedes Primideal =4= R das zugehörige Ideal seiner Mannigfaltig-keit, die irreduzibel ist ; und die allgemeine Nullstelle des Primidealsergibt eine Parameterdarstellung der Mannigfaltigkeit.

Folge: Hat ein Primideal p keine Nullstelle in G n ( P), so ist p = Ii.

14. Schließlich gilt, da auch zu jeder Mannigfaltigkeit ein Primideal4= R gehört:

Jede irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit hat mindestens eineParameterdarstellung. Die Dimensionszahl der Mannigfaltigkeit ist diekleinste Parameter zahl, die in eine Parameterdarstellung eingehen kann.

ständig vertreten. Definiert man z. B. eine Mannigfaltigkeit durch algebraische Para-metergleichungen, die für gewisse Parameterwerte unbrauchbar (singular) werden, somuß man zur Menge der regulären Punkte die Menge ihrer Grenzpunkte hinzunehmen ;man kann aber auch ihre algebraische Abschließung bilden, wie wir sehen werden.