Nullstellentheorie der Polynomideale.

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15. Aus §3,6 folgt: Sind M iy M n _ irreduzible Mannigfaltigkeiten derDimensionszahlen /u t , //„, und ist M., Untermenge von M l , so ist u x ^ / j „ ,und das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn M 1 — M 2 .

§5-

Die Nullstellen beliebiger Ideale.

1. Zu einem Primärideal q im Polynombereich R gehört, wie wir(§ 1, 13) sahen, ein Exponent q und ein Primideal p, so daß

f q = 0(p),l P e =0(q).

Aus der Definition von p folgt: Die Mannigfaltigkeit von p ist mit der vonq identisch. Daraus weiter: Die Mannigfaltigkeit eines Primärideals qist irreduzibel. Weiter: Aus /V/ = 0 ( q ) folgt g = 0 ( q ), wenn f dieMannigfaltigkeit von q nicht enthält. Das letztere besagt nämlich nach§ 4, 13: 0 (p). Diese Eigenschaft des Primärideals benutzen Lasker 1 ")und Macaulay 17 ) als Definition. Die Äquivalenz mit unserer (E. Noether-schen) Definition folgt aus dem Hilbertschen Nullstellensatz (9).

2. Aus § 4, 13 und § 5, 1 folgt: Hat ein Primärideal q keine Null-stelle, so ist q = R .

3. In denjenigen Ringen, für die der Hilbertsche Basissatz gilt, giltauch, wie E. Noether 18 ) gezeigt hat, der folgende Zerlegungssatz:

Jedes Ideal mist K.G.V. von endlich vielen Primäridealen: m=[qj,..., q r ].Fordert man, daß dies größte primäre Komponenten sind, d.h. daß [q ; , qjnicht mehr primär ist, und weiter, daß die Darstellung eine kürzeste ist,d. h. daß keine der q¿ überflüssig ist, so sind zwar nicht die Ideale q 15 ..., q,.eindeutig bestimmt, wohl aber ihre Anzahl r und ihre zugehörigen Prim-ideale pj, ..., .

4. Um zu zeigen, daß für den Polynombereich die gemachten Aus-sagen über Eindeutigkeit nicht verschärft werden können, und zugleich umdie geometrische Natur der Primärideale zu erläutern, mögen die folgendenBeispiele gegeben werden, die sich auf den Polynombereich P [x,y] be-ziehen.

Beispiel 1. Das Ideal m = {xy) besteht aus allen Polynomen, die

10 ) E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905),S. 20-116.

17 ) F. S. Maeaulay, Modular Systems, S. 33.

18 ) E. Noether, Math. Ann. 83, S. 42. Der Beweis setzt den Wohlordnungssatzvoraus. Einen etwas einfacheren Beweis gab W. Krull, Math. Ann. 90 (1923), S. 55—64.Für den Spezialfall des Polynombereichs: E. Lasker a. a. O.