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B. L. van der Waerden.

auf der x- Achse und auf der y- Achse verschwinden, und hat u. a. diefolgenden primären Teiler:

q 1 =(a:): Polynome, die auf der y- Achse verschwinden (Primideal).q 2 = ( y) : Entsprechend.

q 3 = (x 2 , xy, y 2 ): Polynome, die im Ursprung mindestens einen Doppel-punkt haben.

Daß q x , q 2 , q 3 primär sind, m aber nicht, und daß nt Untermengevon q 15 q„ und q 3 ist, folgt hier wie in allen folgenden Beispielen ameinfachsten aus der eben gegebenen geometrischen Bestimmung dieser Ideale.

Offenbar ist nt = [q 1 ,q 9 ], aber auch m = [q x , q 9 , q 3 ]. Beide Zer-legungen sind Zerlegungen in größte primäre Komponenten, denn [q 15 q 2 ],[Qu ^3] unc ^ [q 9 , q 3 ] sind nicht primär. Nur die erstere Darstellungttl=[q 1 , q 9 ] ist eine kürzeste.

Beispiel 2. Das Ideal nt — (x 2 , xy, i/ 2 ) (s. oben q 3 ) ist primär, undhat u. a. die folgenden primären Teile:

q 9 =(x 2 , y): Polynome, die die x-Achse im Ursprung zweifachschneiden oder ganz enthalten.q 2 = (x, y"): Entsprechend.

Zu allen drei Idealen gehört als Primideal das zum Ursprunggehörige Primideal ty = (x,y). Weiter ist m = p", während q x und q 2Ideale zwischen p und p 2 sind 19 ). Die Zerlegung ltt = [q 1 ,q 2 ] ist einekürzeste Darstellung, aber die q ¿ sind nicht größte primäre Ideale, denn mist selbst primär.

Beispiel 3. Das Ideal m = (x 2 ,xy) besteht aus allen Polynomen,die die y- Achse enthalten und außerdem im Ursprung mindestens einenDoppelpunkt haben, m ist nicht primär, und hat u. a. die folgenden pri-mären Teiler:

q x = p! = ( x ) (s. Beispiel 1).

Q2 = ( x 3 > M x + y) '■ Polynome, die die Gerade p. x + y = 0 im Ursprungzweifach schneiden oder ganz enthalten. Zugehöriges Primideal : p 9 = (a;, ?/).

Die Zerlegung ttt = [q 15 q 9 ] ist für jeden Wert von ¡u richtig, undimmer eine kürzeste Darstellung durch größte primäre Komponenten. Nurdie zugehörigen Primideale , p 2 sind eindeutig bestimmt.

5. Definitionen. Die Mannigfaltigkeiten der primären Komponentenq,. eines Ideals tn, oder, was dasselbe ist, die Mannigfaltigkeitender zugehörigen Primideale pj, ..., p r , heißen die wesentlichen Mannig-

19 ) Daraus folgt nebenbei, daß für Ideale wie (x- , y ) eine Darstellung als Pro-dukt von Primidealen, wie sie in der Theorie der Zahlkörper immer möglich ist, aus-geschlossen ist.

■°) Nach Macaulay, zur Unterscheidung von den unwesentlichen Mannigfaltig-keiten, welche die Resolventenbildung nach Kronecker ergibt.