Nullstellentheorie der Polynomideale.

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faltigkeiten des Ideals. Diejenigen unter ihnen, die in einer anderen ent-halten sind, heißen eingebettete Mannigfaltigkeiten, die übrigen isolierteMannigfaltigkeiten. Haben alle wesentlichen Mannigfaltigkeiten von rtt diegleiche Dimensionszahl so heißt das Ideal trt ungemischt und von derDimensionszahl ,u.

6. Ist wiederum m = [q x , ..., q r ], so ist die Mannigfaltigkeit von mdie Vereinigung der (irreduziblen) Mannigfaltigkeiten von q 1( q r :

M r ).

Läßt man aus der Darstellung alle überflüssigen (eingebettetenMannigfaltigkeiten fort, so bleibt eine kürzeste Darstellung:

von M als Vereinigung von irreduziblen Mannigfaltigkeiten. Diese ist ein-deutig, denn ist

eine andere kürzeste Darstellung, so muß jede M { in ^(MÍ, ..., M¿ ), mit-hin nach §4,8 in einer M k enthalten sein, und diese nach dem gleichenSchluß wiederum in einer M- , welche dann notwendig gleich M i sein muß,weil sonst M¡ in M- enthalten wäre, und die Darstellung keine kürzeste.Also ist jedes ilí¿ einem Mk gleich, und ebenso umgekehrt.

Damit ist gezeigt : Jede algebraische Mannigfaltigkeit M läßt eindeutigeine kürzeste Darstellung als Vereinigung von endlichvielen irreduziblenMannigfaltigkeiten zu.

7. Aus 2 und 3 folgt: Hat ein Ideal m keine Nullstellen, so ist nt — R .

8. Aus 1 und 3 folgt: Ist fg = 0(m), und enthält f keine wesent-liche Mannigfaltigkeit von trt, so ist g = 0( m ).

Für die Anwendung dieses äußerst wichtigen Satzes braucht manKriterien, um zu entscheiden, ob ein Ideal eingebettete Mannigfaltigkeitenhat. Ohne Beweis führen wir zwei solche an, deren erstes sich unmittelbaraus Satz XI (S. 46) der E. Noetherschen Arbeit 21 ) ergibt, während daszweite sich bei Macaulay 32 ) findet:

Ein Ideal nt hat dann und nur dann eine in der Mannigfaltigkeitdes anderen Ideals n = (f 1 , ■ ■ - , f r ) enthaltene ivesentliche Mannigfaltigkeit,wenn es ein Polynom f gibt, so daß ff¡ = 0(m) für jedes i , und dennochf= j=0(m).

Hat ein Ideal trt von der Höchstdimension ¡i eine Basis aus n — /¿Elementen, so ist es ungemischt, und jede seiner Potenzen ist ungemischt.

2l ) Math. Ann. 83.

sa ) Modular Systems S. 49, 51.

Mathematische Annalen. 96.

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