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B. L. van der Waerden.

9. Der Hilbertsche Nullstellensatz 23 ) in der ursprünglichen Fas-sung lautet:

Verschwindet ein Polynom f, oder allgemeiner ein Ideal a, in allenNullstellen eines Ideals nt, so gibt es eine nur von nt abhängige Zahl o,so daß /' i? = 0(m) bzw. agi=0(nt).

Beweis. Sei nt = [Cfj q r ], und sei q der größte unter den

Exponenten von q 1# ...,q r . Enthält f die Mannigfaltigkeit von M, so istf=0(p { ), wo p. das zu q ¿ gehörige Primideal ist; daraus folgt f e = 0 (pf),also /' e =0(q j ), also /' e = 0(m). Das gleiche gilt, wenn man a statt fschreibt.

Genau so beweist sich eine etwas abweichende Fassung des Satzes,die für einige Anwendungen noch bequemer ist:

Verschwindet ein Ideal a in den allgemeinen Nullstellen aller iso-lierten Primideale des Ideals m, so gibt es eine nur von nt abhängigeZahl g, so daß a e =0(m).

10. Ein ungemischtes (n — 1)- dimensionales Ideal nt hat eine Basisaus einem Element („ist Hauptideal").

Beweis. Sei zunächst nt = (f t , ..., f s ) primär, {> das zugehörige Prim-ideal, Q — P (f a , ..., | n ) dessen Nullstellenkörper, und seien die Un-bestimmten so numeriert, daß .. ., S n ~ 1 ein dem Körper Q äquivalentesirreduzibles System bilden.

Der größte gemeinsame Teiler f von f 19 ..., f — Teiler im Polynom-sinn — bleibt größter gemeinsamer Teiler, wenn man /j, ...,f a als Poly-nome in x n mit Koeffizienten aus P(a; 1 , • ••,x n _ 1 ) betrachtet. Er ist alsoin der Form

f= «i/i + • •• + a s f sdarstellbar, wo a¿e P {x t , ..., x n _ 1 )[x n \. Multiplikation dieser Gleichungmit dem Hauptnenner h (x 1 , ..., x n _ 1 ) der rechten Seite ergibt:

fh = 0(nt),

also, da h(£ 1 , ..., ¿¡„-J + 0, mithin Ä^0(p):

t = 0(nt).

Auch ist

nt = [fi, • • •> f a ) ä= 0(f),

also folgt nt = (f), womit für primäre Ideale der Satz bewiesen ist.

Ist nun nt = [q a , ..., q r ] ein beliebiges ungemischtes (n — 1)- dimen-sionales Ideal, sind also q x , ...,q r sämtlich (n — 1)- dimensional, so istnach dem eben bewiesenen q ; = (f.), also

«=»[(£).•••» (fr)]-

2S ) D. Hilbert, Math. Ann. 42, S. 320.