Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Ist nun f das K. G. V. (im Polynomsinn) von so ist

m — (f), denn jedes Polynom, das durch teilbar ist, ist durch f

teilbar, und umgekehrt. Damit ist der Satz bewiesen.

Eine Zerlegung von f in Primfaktoren:

f=Px...Pr rergibt eine Produktdarstellung für m:

Da die Ideale (p { ) prim sind, so folgt:

Jedes ungemischte (n — l )-dimensionale Ideal ist Produkt vonPotenzen von Primidealen, deren jedes von einem Primelement erzeugt wird.

§6.

Der Hentzeltsche Nullstellensatz.

1. Der M. Noethersche Fundamentalsatz der Theorie der algebraischenFunktionen 24 ) lautet bekanntlich folgendermaßen:

Ist P ein algebraisch-abgeschlossener Körper, m = ein Ideal

in R = P [x x , x 3 ], wo /j und f 2 teilerfremd sind, und wo folglich dasIdeal nur endlichviele Nullstellen {¡¡i \ Çi l) } [t = 1, , j] in C 2 (P) hat'"'),und ist f ein Polynom in R, so daß in jeder dieser Nullstellen eineGleichung besteht von der Form'.

(1) f=Á?f í + AÍ*'f„

wo die A t , A 2 Potenzreihen nach (x t — i¡ l> ), (x¡¡ — sind, über derenKonvergenz nichts vorausgesetzt wird, so ist f= 0(m).

Dabei soll die Gleichung (1) in dem Sinne bestehen, daß, wenn beideSeiten rein formal nach Potenzen von x 1 — £{*', x„ — i¡ l) geordnet werden,alle Koeffizienten übereinstimmen.

Verschärfung 26 "). Ks ist hinreichend, wenn beide Seiten von (1) bis aufGlieder von der Ordnung g in x 1 — f®, x 2 — |,! l) übereinstimmen, wo qeine nur von rtt abhängige Zahl ist.

Beweis. Sei eine primäre Komponente von m, ihr Primideal,

21 ) M. Noether, Math. Ann. 6 (1873), S. 351.

25 ) Sind nämlich f 1 und f 2 teilerfremd, bo gibt es im Ideal m sowohl ein von x l ,als ein von x¡¡ freies Polynom, die durch den Euklidischen Algorithmus gewonnenwerden können. Diese beiden Polynome werden nur für endliohviele Werte von x„bzw. x 1 Null.

2a ) Sonst würde nämlich die Mannigfaltigkeit von aus mehreren getrenntenPunkten bestehen, mithin reduzibel sein; vgl. § 3, 10.

20 ") E. Bertini, Math. Ann. 34 (1889), S. 447; M. Noether, Math. Ann. 40 (1892),S. 140.

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