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B. L. van der Waerden.

g. ihr Exponent, und ß = max^). Dann ist, da nur eine Nullstelle{>«>,£«>} hat 26 ) :

fc=(® 1 — fi*'. »9 — fs 1 ').

Ersetzt man die Potenzreihen Ai \ A l 2 l> durch die Polynome a[ l \ a { ?,die aus ihren Gliedern der Ordnung < q bestehen, so folgt aus (1):

f=aíV, +ai"/>(W).

f= 0 (m, pf).

f=0 (cfj)

für jedes i, mithin

f = 0(m) q. e. d.

2. Der Satz läßt sich nach verschiedenen Richtungen hin n- dimensionalverallgemeinern.

Erstens gilt der Beweis offenbar für beliebige Ideale m = (/i, .. f r )von der Dimensionszahl 0 in R = P [x lt ..x n ]. 27 )

Zweitens kann man, wie wir zeigen werden, die Voraussetzung, derKörper P sei algebraisch-abgeschlossen, fallen lassen. Man hat dann dieNullstellen und die Koeffizienten der Potenzreihen in einem algebraisch-abgeschlossenen Erweiterungskörper ü von P anzunehmen. Bricht manvon vornherein, was ja unwesentlich ist, die Potenzreihen mit den Gliedern( q — l)-ter Ordnung ab, und schreibt man litn für das von m inQ[x 1 , ..x n ] erzeugte Ideal (§1,4), so lautet der verallgemeinerte Satzmit „Verschärfung" zusammengefaßt:

Ist m ein Ideal in R = P [x t , ..x n \, das die Dimension 0 hat (§ 5, 5)und folglich nur endlichviele Nullstellen ..., f«'' [ ¿ = 1, • • •, 7] inG n {Q), wo Q ein algebraisch-abgeschlossener Erweiterungskörper von Pist, so gibt es eine nur von m abhängige Zahl q, so daß, wenn feR, aus

f= 0 (ma, (x t — fl l) , ..., x n — Ç%') e ) [¿ = 1, ..., y]

folgt

f= 0(m).

Der Beweis von vorhin ergibt nicht die gesuchte Gleichung, sonderndie andere:

f = 0 (nto).

Das heißt nach Definition von m#:

wo cc k eQ, f h em.

Drückt man die Größen K f durch endlichviele linear-unabhängige Ele-mente e, coj, co 2 , ... von ü mit Koeffizienten aus P aus, so kommt:

f=ffo + m i9i -f • wo

2 ') Vgl. etwa Macaulay, Modular Systems, S. 60.