Nullstellentheorie der Polynomideale.

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mithin, da die co linear-unabhängig in bezug auf P sind:

f — 9 o ' ^ ffi » • • • >

also

f=0(m).

3. Läßt man nun drittens auch die Voraussetzung fallen, daß m dieDimensionszahl 0 hat, so kann man zunächst, wie es Lasker 28 ) undMacaulay 29 ) versucht haben, unter Verzicht auf die Verschärfung daranfesthalten, daß nur für eine endliche Anzahl Punkte die

Gleichungen (1) vorausgesetzt werden. Die Beweise von Lasker undMacaulay scheinen aber unvollständig 29 ") und setzen außerdem voraus, daßP der Körper der gewöhnlichen komplexen Zahlen ist, und daß die Potenz-reihen A in einem Gebiet konvergieren. Einen anderen Weg hat K. Hentzelt 30 )eingeschlagen, indem er das Bestehen der Gleichung (1) in allen Punktender Mannigfaltigkeit von m fordert, und die angegebene Verschärfung bei-behält. Sein Satz, der hier auf kürzerem Wege bewiesen werden soll, lautet:

(Hentzeltscher Nullstellensatz, erste Fassung) Ist m einIdeal in R = P[a; 15 .. x n ], und Q ein algebraisch-abgeschlossener Er-weiterungskörper von P, so gibt es eine nur von m abhängende Zahl g,so daß, wenn feR, aus dem Bestehen der Kongruenz(2) /•=0(m fl , (x 1 — £ 15 x n — £„) e )

für jede Nullstelle {f 15 | n } von m in C n {&) folgt

f= 0(ttt).

Der Satz kann, genau so wie der Hilbertsche Nullstellensatz dahinmodifiziert werden, daß die Kongruenz (2) nicht für alle algebraischenNullstellen von m gefordert wird, sondern nur für die allgemeine Null-stelle eines jeden zugehörigen Primideals So kommt man zum Satz 31 ):

(Hentzeltscher Nullstellensatz, zweite Fassung) 1st m ein Idealim R — P \x 1} ..., x n ], sind die zugehörigen Primideale, und ist

2. = P (ß\ l) , .. |^') der Nullstellenkörper von so existiert eine Zahl o,so daß, wenn feR, aus

f= 0 (mv., (xi — |{ l) , ...,x n - in ) e ) [i = 1, ..., r]

28 ) Math. Ann. 60, S. 95.

20 ) Modular Systems, S. 61.

SOa ) Zusatz bei der Korrektur. Die Lücken des Macaulayschen Beweisessind in einem Briefwechsel zwischen Herrn Macaulay und dem Verfasser ausgefülltworden. Die Konvergenzvoraussetzung blieb dabei aber aufrechterhalten. Ich be-sitze jetzt einen von dieser Voraussetzung freien Beweis, der bei beliebigem Koef-fizientenkörper P gilt.

30 ) Siehe Fußnote 6 ).

81 ) Vgl. Grete Hermann, a. a. 0. Die Bezeichnungen „erste" und „zweite Fas-sung" sind dort gerade umgekehrt wie hier.